ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Кольцо из тонкого провода с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$ вращают с постоянной угловой скоростью $\omega$ во внешнем однородном магнитном поле, перпендикулярном к оси вращения. При этом поток магнитной индукции внешнего поля через кольцо изменяется во времени по закону $\Phi = \Phi_{0} \cоs \omega t$. Показать, что:
а) индукционный ток в кольце зависит от времени как $I = I_{m} \sin ( \omega t - \phi)$, где $I_{m} = \omega \Phi_{0} / \sqrt{R^{2} + \omega^{2}L^{2} }$, причем $tg \phi = \omega L/R$;
б) средняя механическая мощность, развиваемая внешними силами для поддержания вращения, определяется формулой $P = 1/2 \omega^{2} \Phi_{0}^{2} R/(R^{2} + \omega^{2}L^{2} )$.


Решение:


(a) У нас есть

$\mathcal{E} = - \frac{d \Phi}{dt} = \omega \Phi_{0} \sin \omega t = L \dot{I} + RI$

Принимая $I = I_{m} \sin ( \omega t - \phi)$. Тогда

$\omega \Phi_{0} \sin \omega t = \omega \Phi_{0} ( \sin ( \omega t - \phi) \cos \phi + \cos ( \omega t - \phi) \sin \phi ) = LI_{m} \omega \cos ( \omega t - \phi) + RI_{m} \sin ( \omega t - \phi)$

тогда $RI_{m} = \omega \Phi_{0} \cos \phi$ $LI_{m} = \Phi_{0} \sin \phi$

или $I_{m} = \frac{ \omega \Phi_{0} }{ \sqrt{R^{2} + \omega^{2}L^{2} } }$ и $tg \phi = \frac{ \omega L}{R}$.

(б) Средняя механическая мощность, необходимая для поддержания вращения = потери энергии в единицу времени

$= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} RI^{2} dt = \frac{1}{2}RI_{m}^{2} = \frac{1}{2} \frac{ \omega^{2} \Phi_{0}^{2} R }{R^{2} + \omega^{2}L^{2} }$