Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7896
2018-05-31 
Конденсатор емкости $C = 1,0 мкФ$ и катушку с активным сопротивлением $R = 0,10 0м$ и индуктивностью $L = 1,0 мГ$ подключили параллельно к источнику синусоидального напряжения с действующим значением $U = 31 В$. Найти:
а) частоту $\omega$, при которой наступает резонанс;
б) действующее значение подводимого тока при резонансе, а также соответствующие токи через катушку и конденсатор.
Решение:
Когда катушка и конденсатор находятся параллельно, уравнение
$L \frac{dI_{1} }{dt} + RI_{1} = \frac{ \int I_{2}dt }{C} = V_{m} \cos \omega t$
$I = I_{1} + I_{2}$
Использование комплексных напряжений
$I_{1} = \frac{V_{m} e^{ i \omega t} }{R + i \omega L}, I_{2} = i \omega CV_{m} e^{ i \omega t}$
и
$I = \left ( \frac{1}{R + i \omega L} + i \omega C \right ) V_{m} e^{ i \omega t} = \left ( \frac{R - i \omega L + i \omega C (R^{2} + \omega^{2}L^{2} ) }{R^{2} + \omega^{2}L^{2} } \right ) V_{m}e^{ i \omega t}$
Таким образом, принимая реальные части, $I = \frac{V_{m} }{|Z ( \omega) |} \cos ( \omega t - \phi)$
где $\frac{1}{| Z( \omega) |} = \frac{R^{2} + ( \omega C (R^{2} + \omega^{2} L^{2} ) - \omega L )^{2} }{ \sqrt{ R^{2} + \omega^{2}L^{2} } }$
и $tg \phi = \frac{ \omega L - \omega C (R^{2} + \omega^{2}L^{2} ) }{R}$
(а) Чтобы получить частоту резонанса, мы должны решить, что мы подразумеваем под резонансом. Для одного определения требуется экстремум (максимум или минимум) амплитуды тока. Другое определение требует быстрого изменения фазы $\phi$, проходящей через нуль при резонансе.
$I_{m} = \frac{V_{m} }{ \sqrt{ R^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^{2} } }$ и $tg \phi = \frac{ \omega L - \frac{1}{ \omega C} }{R}$
оба определения дают $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$ при резонансе. В нашем случае оба определения не применимы (за исключением случаев, когда $R = 0$). Определение, необходимое для ответа это исчезновение фазы. Это требует
$C(R^{2} + \omega^{2} L^{2}) = L$
или $\omega^{2} = \frac{1}{LC} - \frac{R^{2} }{L^{2} } = \omega_{рез}^{2}, \omega_{рез} = 31,6 \cdot 10^{3} рад / с$.
Заметим, что при малых $R, \phi$ быстро меняется от $\approx - \frac{ \pi}{2}$ до $+ \frac{ \pi}{2}$ так как $\omega$, проходит $\omega_{рез}$ от $< \omega_{рез}$ до $> \omega_{рез}$.
(б) при резонансе $I_{m} = \frac{V_{m}R }{L/C} = V_{m} \frac{CR}{L}$
так что $I$ - действительное значение полного тока $= V \frac{CR}{L} = 3,1 мА$.
по аналогии $I_{L} = \frac{V}{ \sqrt{L/C} } = V \sqrt{ \frac{C}{L} } = 0,98 А$.
$I_{C} = \omega CV = V \sqrt{ \frac{C}{L} - \frac{R^{2}C^{2} }{L^{2} } } \approx 0,98 А$.
Примечание. Прохождение через ноль, считается более общим определением резонанса.
Конденсатор емкости $C = 1,0 мкФ$ и катушку с активным сопротивлением $R = 0,10 0м$ и индуктивностью $L = 1,0 мГ$ подключили параллельно к источнику синусоидального напряжения с действующим значением $U = 31 В$. Найти:
а) частоту $\omega$, при которой наступает резонанс;
б) действующее значение подводимого тока при резонансе, а также соответствующие токи через катушку и конденсатор.
Решение:
Когда катушка и конденсатор находятся параллельно, уравнение
$L \frac{dI_{1} }{dt} + RI_{1} = \frac{ \int I_{2}dt }{C} = V_{m} \cos \omega t$
$I = I_{1} + I_{2}$
Использование комплексных напряжений
$I_{1} = \frac{V_{m} e^{ i \omega t} }{R + i \omega L}, I_{2} = i \omega CV_{m} e^{ i \omega t}$
и
$I = \left ( \frac{1}{R + i \omega L} + i \omega C \right ) V_{m} e^{ i \omega t} = \left ( \frac{R - i \omega L + i \omega C (R^{2} + \omega^{2}L^{2} ) }{R^{2} + \omega^{2}L^{2} } \right ) V_{m}e^{ i \omega t}$
Таким образом, принимая реальные части, $I = \frac{V_{m} }{|Z ( \omega) |} \cos ( \omega t - \phi)$
где $\frac{1}{| Z( \omega) |} = \frac{R^{2} + ( \omega C (R^{2} + \omega^{2} L^{2} ) - \omega L )^{2} }{ \sqrt{ R^{2} + \omega^{2}L^{2} } }$
и $tg \phi = \frac{ \omega L - \omega C (R^{2} + \omega^{2}L^{2} ) }{R}$
(а) Чтобы получить частоту резонанса, мы должны решить, что мы подразумеваем под резонансом. Для одного определения требуется экстремум (максимум или минимум) амплитуды тока. Другое определение требует быстрого изменения фазы $\phi$, проходящей через нуль при резонансе.
$I_{m} = \frac{V_{m} }{ \sqrt{ R^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^{2} } }$ и $tg \phi = \frac{ \omega L - \frac{1}{ \omega C} }{R}$
оба определения дают $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$ при резонансе. В нашем случае оба определения не применимы (за исключением случаев, когда $R = 0$). Определение, необходимое для ответа это исчезновение фазы. Это требует
$C(R^{2} + \omega^{2} L^{2}) = L$
или $\omega^{2} = \frac{1}{LC} - \frac{R^{2} }{L^{2} } = \omega_{рез}^{2}, \omega_{рез} = 31,6 \cdot 10^{3} рад / с$.
Заметим, что при малых $R, \phi$ быстро меняется от $\approx - \frac{ \pi}{2}$ до $+ \frac{ \pi}{2}$ так как $\omega$, проходит $\omega_{рез}$ от $< \omega_{рез}$ до $> \omega_{рез}$.
(б) при резонансе $I_{m} = \frac{V_{m}R }{L/C} = V_{m} \frac{CR}{L}$
так что $I$ - действительное значение полного тока $= V \frac{CR}{L} = 3,1 мА$.
по аналогии $I_{L} = \frac{V}{ \sqrt{L/C} } = V \sqrt{ \frac{C}{L} } = 0,98 А$.
$I_{C} = \omega CV = V \sqrt{ \frac{C}{L} - \frac{R^{2}C^{2} }{L^{2} } } \approx 0,98 А$.
Примечание. Прохождение через ноль, считается более общим определением резонанса.
