Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 789
2016-09-04 
На цилиндрическую катушку радиуса $R$, способную вращаться вокруг горизонтальной оси без трения, намотана тонкая нить длиной $L \ll R$. Момент инерции катушки равен $J$, линейная плотность нити $\rho$. Трение в оси и сопротивление воздуха пренебрежимо малы. Под действием веса свисающей части нить разматывается, вращая катушку. Найти зависимость скорости $v$ и ускорения $a$ свисающей с катушки части нити от её длины $x$.
Решение:
Для нахождения ускорения $a$ нити запишем второй закон Ньютона для её свисающей с катушки части:
$\rho xa = \rho xg – F$, (1)
где $F$ - сила натяжения, действующая на рассматриваемую часть нити длиной $x$ (рис.). Запишем также уравнение вращательного движения катушки:
$(J + \rho (L – x)R^{2}) \epsilon = FR$, (2)
где $\epsilon$ - угловое ускорение цилиндра, второе слагаемое в скобке - момент инерции части нити, намотанной на катушку. Так как нить не скользит по катушке, $\epsilon = a/R$. С учётом этого из уравнений (1) и (2) находим ответ:
$a = \frac{ \rho gR^{2}x}{J + \rho L R^{2}}$.
Таким образом, ускорение $a$ пропорциональна длине свисающей части $x$.
Для нахождения скорости нити применим закон сохранения механической энергии:
$\rho gx \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} (J + \rho (L – x)R^{2}) \omega^{2} + \frac{1}{2} \rho x v^{2}$,
где $\omega$ - угловая скорость вращения катушки. Левая часть уравнения - работа силы тяжести при опускании нити, определяемая изменением положения центра масс. Подставляя сюда $\omega = v/R$, получим после преобразований:
$v = Rx \sqrt{ \frac{ \rho g}{ J + \rho LR^{2}}}$.
Так что не только ускорение, но и скорость $v$ пропорциональна $x$.
На цилиндрическую катушку радиуса $R$, способную вращаться вокруг горизонтальной оси без трения, намотана тонкая нить длиной $L \ll R$. Момент инерции катушки равен $J$, линейная плотность нити $\rho$. Трение в оси и сопротивление воздуха пренебрежимо малы. Под действием веса свисающей части нить разматывается, вращая катушку. Найти зависимость скорости $v$ и ускорения $a$ свисающей с катушки части нити от её длины $x$.
Решение:
Для нахождения ускорения $a$ нити запишем второй закон Ньютона для её свисающей с катушки части:
$\rho xa = \rho xg – F$, (1)
где $F$ - сила натяжения, действующая на рассматриваемую часть нити длиной $x$ (рис.). Запишем также уравнение вращательного движения катушки:
$(J + \rho (L – x)R^{2}) \epsilon = FR$, (2)
где $\epsilon$ - угловое ускорение цилиндра, второе слагаемое в скобке - момент инерции части нити, намотанной на катушку. Так как нить не скользит по катушке, $\epsilon = a/R$. С учётом этого из уравнений (1) и (2) находим ответ:
$a = \frac{ \rho gR^{2}x}{J + \rho L R^{2}}$.
Таким образом, ускорение $a$ пропорциональна длине свисающей части $x$.
Для нахождения скорости нити применим закон сохранения механической энергии:
$\rho gx \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} (J + \rho (L – x)R^{2}) \omega^{2} + \frac{1}{2} \rho x v^{2}$,
где $\omega$ - угловая скорость вращения катушки. Левая часть уравнения - работа силы тяжести при опускании нити, определяемая изменением положения центра масс. Подставляя сюда $\omega = v/R$, получим после преобразований:
$v = Rx \sqrt{ \frac{ \rho g}{ J + \rho LR^{2}}}$.
Так что не только ускорение, но и скорость $v$ пропорциональна $x$.
