ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Найти действующее значение тока, если среднее значение его равно $I_{0}$, а сам ток зависит от времени по закону:
а) показанному на рис.;
б) $I \sim | \sin \omega t|$.



Решение:


(a) $I(t) = I_{1} \frac{t}{T} 0 \leq t < T$
$I(t \pm T) = I(t)$

Тогда средний ток

$\langle I \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{1} \frac{t}{T} dt = I_{1} \frac{ T^{2}/2 }{T^{2} } = I_{1}/2$

Отсюда $I_{1} = 2I_{0}$, так как $\langle I \rangle = I_{0}$.

Тогда $\langle I^{2} \rangle = 4 I_{0}^{2} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{t^{2} }{T^{2} } dt = \frac{4I_{0}^{2} }{3}$

действующее значение тока $= \frac{2I_{0} }{ \sqrt{3} }$.

(б) В этом случае $I = I_{1} | \sin \omega t|$

и $I_{0} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{1} | \sin \omega t | dt = \frac{1}{ 2 \pi} I_{1} \int_{0}^{2 \pi} | \sin \theta | d \theta = \frac{I_{1} }{ \pi} \int_{0}^{ \pi} \sin \theta d \theta = \frac{2I_{1} }{ \pi}$

Итак $I_{1} = \frac{ \pi I_{0} }{2}$

Тогда $= \langle I^{2} \rangle = \frac{ \pi^{2}I_{0}^{2} }{4T} \int_{0}^{T} \sin^{2} \omega t dt = \frac{ \pi^{2} I_{0}^{2} }{4} \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{ 2 \pi} \sin^{2} \theta d \theta = \frac{ \pi^{2} I_{0}^{2} }{8}$

действующее значение тока $= \frac{ \pi I_{0} }{ \sqrt{8} }$.