Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7882
2018-05-31 
Цепь, содержащая последовательно соединенные конденсатор и катушку с активным сопротивлением, подключена к источнику гармонического напряжения, частоту которого можно менять, не изменяя амплитуды напряжения. При частотах $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ амплитуды тока оказались в $n$ раз меньше резонансной амплитуды.
Найти: а) резонансную частоту; б) добротность цепи.
Решение:
При резонансе
$\omega_{0}L = ( \omega_{0}C )^{-1}$ или $\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC} }$,
и $(I_{m} )_{рез} = \frac{V_{m} }{R}$.
Тогда $\frac{V_{m} }{nR} = \frac{V_{m} }{ \sqrt{R^{2} + \left ( \omega_{1}L - \frac{1}{ \omega_{1}C } \right )^{2} } } = \frac{V_{m} }{ \sqrt{R^{2} + \left ( \omega_{2}L - \frac{1}{ \omega_{2}C } \right )^{2} } }$
Отсюда $\omega_{1}L - \frac{1}{ \omega_{1}C } = \sqrt{n^{2} - 1 } R$
$\omega_{2}L - \frac{1}{ \omega_{2}C } = \sqrt{n^{2} - 1 } R$ (предполагая, что $\omega_{2} > \omega_{1}$)
или $\omega_{1} - \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega_{1} } = - \omega_{2} + \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega_{2} } = - \sqrt{n^{2} - 1 } \frac{R}{L}$
или $\omega_{1} + \omega_{2} = \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega_{1} \omega_{2} } ( \omega_{1} + \omega_{2} ) \Rightarrow \omega_{0} = \sqrt{ \omega_{1} \omega_{2} }$
и $\omega_{2} - \omega_{1} = \sqrt{n^{2} - 1 } \frac{R}{L}$
$\beta = \frac{R}{2L} = \frac{ \omega_{2} - \omega_{1} }{ 2 \sqrt{n^{2} - 1 } }$
и $Q = \sqrt{ \frac{ \omega_{0}^{2} }{2 \beta^{2} } - \frac{1}{4} } = \sqrt{ \frac{(n^{2} - 1 ) \omega_{1} \omega_{2} }{ ( \omega_{2} - \omega_{1} )^{2} } - \frac{1}{4} }$
Цепь, содержащая последовательно соединенные конденсатор и катушку с активным сопротивлением, подключена к источнику гармонического напряжения, частоту которого можно менять, не изменяя амплитуды напряжения. При частотах $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ амплитуды тока оказались в $n$ раз меньше резонансной амплитуды.
Найти: а) резонансную частоту; б) добротность цепи.
Решение:
При резонансе
$\omega_{0}L = ( \omega_{0}C )^{-1}$ или $\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC} }$,
и $(I_{m} )_{рез} = \frac{V_{m} }{R}$.
Тогда $\frac{V_{m} }{nR} = \frac{V_{m} }{ \sqrt{R^{2} + \left ( \omega_{1}L - \frac{1}{ \omega_{1}C } \right )^{2} } } = \frac{V_{m} }{ \sqrt{R^{2} + \left ( \omega_{2}L - \frac{1}{ \omega_{2}C } \right )^{2} } }$
Отсюда $\omega_{1}L - \frac{1}{ \omega_{1}C } = \sqrt{n^{2} - 1 } R$
$\omega_{2}L - \frac{1}{ \omega_{2}C } = \sqrt{n^{2} - 1 } R$ (предполагая, что $\omega_{2} > \omega_{1}$)
или $\omega_{1} - \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega_{1} } = - \omega_{2} + \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega_{2} } = - \sqrt{n^{2} - 1 } \frac{R}{L}$
или $\omega_{1} + \omega_{2} = \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega_{1} \omega_{2} } ( \omega_{1} + \omega_{2} ) \Rightarrow \omega_{0} = \sqrt{ \omega_{1} \omega_{2} }$
и $\omega_{2} - \omega_{1} = \sqrt{n^{2} - 1 } \frac{R}{L}$
$\beta = \frac{R}{2L} = \frac{ \omega_{2} - \omega_{1} }{ 2 \sqrt{n^{2} - 1 } }$
и $Q = \sqrt{ \frac{ \omega_{0}^{2} }{2 \beta^{2} } - \frac{1}{4} } = \sqrt{ \frac{(n^{2} - 1 ) \omega_{1} \omega_{2} }{ ( \omega_{2} - \omega_{1} )^{2} } - \frac{1}{4} }$
