Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 788
2016-09-04 
Верхний конец однородного стержня массой $M$ и длиной $L$ шарнирно закреплён. Маленький шарик массой $m$ подвешен на нити длиной $L$ в точке крепления стержня. От вертикально расположенного и находящегося в покое стержня шарик отводят в сторону так, что он поднимается на высоту $h$ относительно нижнего положения, и отпускают. На какую высоту поднимутся шарик и конец стержня после неупругого удара? Как изменится ответ, если отклонить и отпустить с той же высоты конец стержня, а не шарик?
Решение:
Для решения задачи нужно проанализировать следующие этапы движений: опускание шарика; столкновение его со стержнем; последующий подъём шарика и отклонение стержня. На первом и третьем этапах сохраняется механическая энергия. Зато на втором этапе сохраняется момент импульса системы из-за кратковременности удара.
Применяя закон сохранения энергии для первого этапа
$ \frac{mv_{0}^{2}}{2} = mgh$,
получим скорость шарика $v_{0} = \sqrt{2gh}$, с которой он ударяется о конец стержня. Далее приравниваем момент импульса шарика со стержнем до столкновения и после:
$mv_{0}L = mvL + I \omega$, (1)
где $\omega$ - угловая скорость, которую приобрёл стержень в результате неупругого удара, $I = ML^{2}/3$ - момент инерции стержня, $v = \omega L$ - скорость конца стержня и шарика непосредственно после удара. Выразим эту скорость из (1):
$v = \frac{3m}{3m + M} v_{0}$. (2)
Будет ли на следующем этапе движения шарик отставать от конца стержня? Для ответа на этот вопрос найдём на какую высоту поднялись бы шарик и конец стержня, если бы они не взаимодействовали на этом этапе движения. Для шарика закон сохранения энергии даёт высоту подъёма $h_{b} = v^{2}/2g$. Применим тот же закон к стержню:
$Mg \frac{h_{r}}{2} = \frac{I}{2} \left ( \frac{v}{L} \right )^{2}$
Отсюда получаем
$h_{r} = \frac{v^{2}}{3g} < h_{b}$
Таким образом, шарик поднялся бы выше, если бы ему не мешал стержень. Следовательно, шарик и стержень будут двигаться на данном этапе вместе. Применим для этого совместного подъёма на высоту $h_{x}$ закон сохранения энергии:
$Mg \frac{h_{x}}{2} + mgh_{x} = \frac{1}{2} I \left ( \frac{v}{L} \right )^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$.
Отсюда находим
$h_{x} = \frac{v^{2}(M + 3m)}{3g(M + 2m)} = \frac{6m^{2}h}{(M+3m)(M+2m)}$.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда первоначально отклонённый стержень ударяет шарик, висящий на вертикальной нити. Скорость $v_{0}$ конца в момент удара находится из закона сохранения энергии:
$\frac{Mgh}{2} = \frac{1}{2} I \left ( \frac{v_{0}}{L} \right )^{2}$,
откуда получаем $v{0} = \sqrt{3gh}$. Скорость шарика $v$ непосредственно после удара находим из закона сохранения момента импульса:
$I \frac{v_{0}}{L} = mvL + I \frac{v}{L}, v = \frac{Mv_{0}}{M+3m}$.
Как уже было выяснено при рассмотрении предыдущего случая, шарик поднимется после удара на большую высоту, и теперь ему не будет мешать стержень. В полученные ранее формулы для высот подъёма нужно лишь подставить новые значения скорости $v$:
$h_{r} = \frac{v^{2}}{3g} = \frac{1}{3g} \left ( \frac{Mv_{0}}{M+3m} \right )^{2} = \frac{1}{3g} \left ( \frac{M}{M+3m} \right )^{2} 3gh = h \left ( \frac{M}{M+3m} \right )^{2}$.
$h_{b} = \frac{v^{2}}{2g} = \frac{3}{2} \left ( \frac{M}{M+3m} \right )^{2} h$.
Итак, после удара шарика стержень движется вместе с ним, а после удара стержня о шарик конец стержня поднимается на высоту, составляющую $2/3$ от высоты подъёма шарика.
Верхний конец однородного стержня массой $M$ и длиной $L$ шарнирно закреплён. Маленький шарик массой $m$ подвешен на нити длиной $L$ в точке крепления стержня. От вертикально расположенного и находящегося в покое стержня шарик отводят в сторону так, что он поднимается на высоту $h$ относительно нижнего положения, и отпускают. На какую высоту поднимутся шарик и конец стержня после неупругого удара? Как изменится ответ, если отклонить и отпустить с той же высоты конец стержня, а не шарик?
Решение:
Для решения задачи нужно проанализировать следующие этапы движений: опускание шарика; столкновение его со стержнем; последующий подъём шарика и отклонение стержня. На первом и третьем этапах сохраняется механическая энергия. Зато на втором этапе сохраняется момент импульса системы из-за кратковременности удара.
Применяя закон сохранения энергии для первого этапа
$ \frac{mv_{0}^{2}}{2} = mgh$,
получим скорость шарика $v_{0} = \sqrt{2gh}$, с которой он ударяется о конец стержня. Далее приравниваем момент импульса шарика со стержнем до столкновения и после:
$mv_{0}L = mvL + I \omega$, (1)
где $\omega$ - угловая скорость, которую приобрёл стержень в результате неупругого удара, $I = ML^{2}/3$ - момент инерции стержня, $v = \omega L$ - скорость конца стержня и шарика непосредственно после удара. Выразим эту скорость из (1):
$v = \frac{3m}{3m + M} v_{0}$. (2)
Будет ли на следующем этапе движения шарик отставать от конца стержня? Для ответа на этот вопрос найдём на какую высоту поднялись бы шарик и конец стержня, если бы они не взаимодействовали на этом этапе движения. Для шарика закон сохранения энергии даёт высоту подъёма $h_{b} = v^{2}/2g$. Применим тот же закон к стержню:
$Mg \frac{h_{r}}{2} = \frac{I}{2} \left ( \frac{v}{L} \right )^{2}$
Отсюда получаем
$h_{r} = \frac{v^{2}}{3g} < h_{b}$
Таким образом, шарик поднялся бы выше, если бы ему не мешал стержень. Следовательно, шарик и стержень будут двигаться на данном этапе вместе. Применим для этого совместного подъёма на высоту $h_{x}$ закон сохранения энергии:
$Mg \frac{h_{x}}{2} + mgh_{x} = \frac{1}{2} I \left ( \frac{v}{L} \right )^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$.
Отсюда находим
$h_{x} = \frac{v^{2}(M + 3m)}{3g(M + 2m)} = \frac{6m^{2}h}{(M+3m)(M+2m)}$.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда первоначально отклонённый стержень ударяет шарик, висящий на вертикальной нити. Скорость $v_{0}$ конца в момент удара находится из закона сохранения энергии:
$\frac{Mgh}{2} = \frac{1}{2} I \left ( \frac{v_{0}}{L} \right )^{2}$,
откуда получаем $v{0} = \sqrt{3gh}$. Скорость шарика $v$ непосредственно после удара находим из закона сохранения момента импульса:
$I \frac{v_{0}}{L} = mvL + I \frac{v}{L}, v = \frac{Mv_{0}}{M+3m}$.
Как уже было выяснено при рассмотрении предыдущего случая, шарик поднимется после удара на большую высоту, и теперь ему не будет мешать стержень. В полученные ранее формулы для высот подъёма нужно лишь подставить новые значения скорости $v$:
$h_{r} = \frac{v^{2}}{3g} = \frac{1}{3g} \left ( \frac{Mv_{0}}{M+3m} \right )^{2} = \frac{1}{3g} \left ( \frac{M}{M+3m} \right )^{2} 3gh = h \left ( \frac{M}{M+3m} \right )^{2}$.
$h_{b} = \frac{v^{2}}{2g} = \frac{3}{2} \left ( \frac{M}{M+3m} \right )^{2} h$.
Итак, после удара шарика стержень движется вместе с ним, а после удара стержня о шарик конец стержня поднимается на высоту, составляющую $2/3$ от высоты подъёма шарика.
