Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7876
2018-05-31 
Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости $C$, сопротивления $R$ и катушки с индуктивностью $L$ и пренебрежимо малым активным сопротивлением подключена к генератору синусоидального напряжения, частоту которого можно менять при постоянной амплитуде. Найти частоту, при которой максимальна амплитуда напряжения:
а) на конденсаторе; б) на катушке.
Решение:
(а) $V_{C} = \frac{1}{ \omega C} \frac{V_{m} }{ \sqrt{R^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^{2} } } = \frac{V_{m} }{ \sqrt{ ( \omega RC)^{2} + ( \omega^{2}LC - 1 )^{2} } } = \frac{V_{m} }{ \sqrt{ \left ( \frac{ \omega^{2} }{ \omega_{0}^{2} } - 1 \right )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} / \omega_{0}^{4} } } = \frac{V_{m} }{ \sqrt{ \left ( \frac{ \omega^{2} }{ \omega_{0}^{2} } - 1 + \frac{2 \beta^{2} }{ \omega_{0}^{2} } \right )^{2} + \frac{4 \beta^{2} }{ \omega_{0}^{2} } - \frac{4 \beta^{4} }{ \omega_{0}^{4} } } }$
Это имеет максимум, когда $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2} = \frac{1}{LC} - \frac{R^{2} }{2L^{2} }$
(б) $V_{L} = I_{m} \omega L = V_{m} \frac{ \omega L }{ \sqrt{ R^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^{2} } } = \frac{ V_{m}L }{ \sqrt{ \frac{R^{2} }{ \omega^{2} } \left ( L - \frac{1}{ \omega^{2} C } \right )^{2} } } = \frac{V_{m}L }{ \sqrt{ L^{2} - \frac{1}{ \omega^{2} } \left ( \frac{2L}{C} - R^{2} \right ) + \frac{1}{ \omega^{4}C^{2} } } } = \frac{V_{m}L }{ \sqrt{ \left ( \frac{1}{ \omega^{2}C } - \left ( L - \frac{CR^{2} }{2} \right ) \right )^{2} + L^{2} - \left ( L - \frac{1}{2} CR^{2} \right )^{2} } }$
Это имеет максимум, когда
$\frac{1}{ \omega^{2}C } = L - \frac{1}{2} CR^{2}$
или $\omega^{2} = \frac{1}{LC - \frac{1}{2} C^{2}R^{2} } = \frac{1}{ \frac{1}{ \omega_{0}^{2} } - \frac{2 \beta^{2} }{ \omega_{0}^{4} } } = \frac{ \omega_{0}^{4} }{ \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2} }$ или $\omega = \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2} } }$.
Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости $C$, сопротивления $R$ и катушки с индуктивностью $L$ и пренебрежимо малым активным сопротивлением подключена к генератору синусоидального напряжения, частоту которого можно менять при постоянной амплитуде. Найти частоту, при которой максимальна амплитуда напряжения:
а) на конденсаторе; б) на катушке.
Решение:
(а) $V_{C} = \frac{1}{ \omega C} \frac{V_{m} }{ \sqrt{R^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^{2} } } = \frac{V_{m} }{ \sqrt{ ( \omega RC)^{2} + ( \omega^{2}LC - 1 )^{2} } } = \frac{V_{m} }{ \sqrt{ \left ( \frac{ \omega^{2} }{ \omega_{0}^{2} } - 1 \right )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} / \omega_{0}^{4} } } = \frac{V_{m} }{ \sqrt{ \left ( \frac{ \omega^{2} }{ \omega_{0}^{2} } - 1 + \frac{2 \beta^{2} }{ \omega_{0}^{2} } \right )^{2} + \frac{4 \beta^{2} }{ \omega_{0}^{2} } - \frac{4 \beta^{4} }{ \omega_{0}^{4} } } }$
Это имеет максимум, когда $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2} = \frac{1}{LC} - \frac{R^{2} }{2L^{2} }$
(б) $V_{L} = I_{m} \omega L = V_{m} \frac{ \omega L }{ \sqrt{ R^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^{2} } } = \frac{ V_{m}L }{ \sqrt{ \frac{R^{2} }{ \omega^{2} } \left ( L - \frac{1}{ \omega^{2} C } \right )^{2} } } = \frac{V_{m}L }{ \sqrt{ L^{2} - \frac{1}{ \omega^{2} } \left ( \frac{2L}{C} - R^{2} \right ) + \frac{1}{ \omega^{4}C^{2} } } } = \frac{V_{m}L }{ \sqrt{ \left ( \frac{1}{ \omega^{2}C } - \left ( L - \frac{CR^{2} }{2} \right ) \right )^{2} + L^{2} - \left ( L - \frac{1}{2} CR^{2} \right )^{2} } }$
Это имеет максимум, когда
$\frac{1}{ \omega^{2}C } = L - \frac{1}{2} CR^{2}$
или $\omega^{2} = \frac{1}{LC - \frac{1}{2} C^{2}R^{2} } = \frac{1}{ \frac{1}{ \omega_{0}^{2} } - \frac{2 \beta^{2} }{ \omega_{0}^{4} } } = \frac{ \omega_{0}^{4} }{ \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2} }$ или $\omega = \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2} } }$.
