ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкости $C$ и сопротивления $R$, подключили к переменному напряжению $U = U_{m} \cos \omega t$ в момент $t = 0$. Найти ток в цепи как функцию времени $t$.


Решение:


Уравнение ($Q$ заряд на конденсаторе)

$\frac{Q}{C} + R \frac{dQ}{dt} = V_{m} \cos \omega t$

Решение, $Q = 0$ при $t = 0$, имеет вид (как и в задаче 7869)

$Q = Q_{m} ( \cos ( \omega t - \bar{ \phi} ) - \cos \bar{ \phi} e^{ - t / RC} )$

Подставляя

$ \frac{Q_{m} }{C} \cos ( \omega t - \bar{ \phi} ) - \omega R Q_{m} \sin ( \omega t - \bar{ \phi} ) = V_{m} \cos \omega t = V_{m} ( \cos \bar{ \phi} \cos ( \omega t - \bar{ \phi} ) - \sin \bar{ \phi} \sin ( \omega t - \bar{ \phi} ) )$

Итак $Q_{m} = CV_{m} \cos \bar{ \phi}$
$\omega RQ_{m} = V_{m} \sin \bar{ \phi}$

Это ведет к

$Q_{m} = \frac{CV_{m} }{ \sqrt{1 + ( \omega RC)^{2} } }, tg \bar{ \phi} = \omega RC$

Следовательно

$I = \frac{dQ}{dt} = \frac{V_{m} }{ \sqrt{ R^{2} + \left ( \frac{1}{ \omega C} \right )^{2} } } \left ( - \sin ( \omega t - \bar{ \phi} ) + \frac{ \cos^{2} \bar{ \phi} }{ \sin \bar{ \phi} } e^{ - t/RC} \right )$