Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 787
2016-09-04 
Шарик массой $M$ прикреплён к концу упругого жгута массой $m$, длина которого в недеформированном состоянии равна $L_{0}$. Жгут с шариком вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через другой конец жгута. Шарик скользит по гладкой поверхности, жгут не провисает. Как зависит расстояние шарика до оси вращения $L$ от угловой скорости $\omega$? При растяжении жгута изменением его сечения $S$ можно пренебречь. Жгут подчиняется закону Гука при любых деформациях. Модуль Юнга равен $E$.
Решение:
рис.1
Для решения задачи нужно проанализировать движение системы. Запишем для установившегося движения шарика по окружности уравнение второго закона Ньютона:
$M \omega^{2} L = F$, (1)
где $F$ - сила упругости, приложенная к шарику (рис. 1). Поскольку деформация жгута неоднородна, для нахождения $F$ следует рассмотреть движение малого его элемента длиной $dx$ и массой $dm$ (рис.1). Длина этого элемента в недеформированном состоянии равна $dx_{0}$. Запишем для него второй закон Ньютона:
$dm \omega^{2} x = dF (x)$, (2)
где $x$ - координата выбранного элемента, $dF(x)$ - действующая на него сила упругости. Масса элемента $dm = \rho_{0} Sdx_{0} = \rho(0) Sdx, \rho_{0}$ - плотность недеформированного жгута, а $\rho(x)$ - плотность жгута в точке $x$. В соответствии с законом Гука,
$F(x) = - SE \frac{dx – dx_{0}}{dx_{0}} = - SE \left ( \frac{\rho_{0}}{ \rho(x)} -1 \right )$. (3)
Подставляя $dm$ в (2), получим:
$\rho(x) S \omega^{2} xdx = ES \rho_{0} \frac{dp}{ \rho^{2} (x)}$, или
$xdx = A \frac{d \rho}{ \rho^{3}(x)}$, (4)
$A = \frac{E \rho_{0}}{ \omega^{2}}$. (5)
Проинтегрировав (4) от $x$ до $L$, получим
$x^{2} - L^{2} = A \left ( \frac{1}{ \rho^{2}(L)} - \frac{1}{ \rho^{2} (x)} \right )$. (6)
Величину $\rho( L)$ выразим из (1), подставив в неё (3):
$\frac{1}{ \rho(L)} = \frac{1}{ \rho_{0}} \left ( 1 + \frac{M \omega^{2} L}{ES} \right )$. (7)
Из (6) и (7) получим:
$ \frac{1}{ \rho^{2}(x)} = \frac{1}{A} (a^{2} – x^{2})$, где $a^{2} = A \left ( \frac{1}{\rho_{0}} + \frac{ML}{AS} \right ) + L^{2}$
Функция $\rho(x)$ позволяет выразить массу жгута следующим образом:
$m = S \int_{0}^{L} \rho(x) dx = S \int_{0}^{L} \frac{ \sqrt{A} dx}{ \sqrt{a^{2} – x^{2}}}$. (8)
Вычислим интеграл в (8) и подставим $m = \rho_{0} SL_{0}$:
$\rho_{0} SL_{0} = S \sqrt{A} arcsin \frac{L}{a}$, или
$\sin \left ( \frac{ \rho_{0}L_{0}}{ \sqrt{A}} \right ) = \frac{1}{ \sqrt{ 1 + \frac{A}{}AL^{2} \left ( \frac{A}{ \rho_{0}} + \frac{ML}{S} \right )^{2} }}$ (9)
Формула (9) содержит в неявном виде искомую зависимость $L$ от $\omega$, поскольку $A \sim \omega^{-2}$ согласно (5).
Проанализируем эту зависимость. При $\omega \rightarrow 0 (A \rightarrow \infty)$, получаем $L_{0} \approx L$. Естественно, при медленном вращении жгут деформируется незначительно. При $L \rightarrow \infty$ в правой части (9) получается $ \left ( 1 + \frac{M^{2}}{AS^{2}} \right )^{-1/2}$. Левую часть преобразуем с помощью тригонометрического тождества
$\sin \alpha = \left ( 1 + \frac{1}{ tg^{2} \alpha} \right )^{-1/2}$.
Тогда получим
$tg \left ( \frac{ \rho_{0} L_{0}}{ \sqrt{A}} \right ) = \frac{ \sqrt{A} S}{M}$,
после подстановки (5)
$tg \left ( \omega L_{0} \sqrt{ \frac{ \rho_{0}}{E}} \right ) = S \frac{ \sqrt{ \rho_{0}E}}{M \omega}$. (10)
Таким образом, когда угловая скорость стремится к критическому значению, являющемуся решением уравнения (10), длина нити неограниченно увеличивается. Проще осознать эту особенность для невесомой нити. При $\rho_{0} \rightarrow 0$ из (10) получается
$M \omega^{2} L_{0} = SE$. (11)
Уравнение движения шарика в этом случае имеет вид
$M \omega^{2} L = \frac{SE}{L_{0}} (L-L_{0}) = f(L)$. (12)
Корень этого уравнения и определяет длину $L$ при установившемся движении. Графическое решение этого уравнения представлено на рисунке 2 (рядом с обозначениями углов указаны значения их тангенсов). Наклон прямой, проходящей через начало координат, увеличивается с ростом $\omega$. При достижении критического значения, совпадающего с решением уравнения (11), прямые оказываются параллельными, то есть $L \rightarrow \infty$. Сила упругости не в состоянии обеспечить необходимого центростремительного ускорения.
Наглядное представление функциональных зависимостей дают графики. Построить графики функций, заданных неявно или громоздкими выражениями, помогает компьютер. На рисунке 3 изображены полученные с помощью МаthСАD график функции $L( \omega)$, построенный по формуле (9) (сплошная линия), а также график аналогичной зависимости, даваемой формулой (12) (штрихованная линия). Видно, что различие в поведении массивного жгута и невесомого проявляются только вблизи критических угловых скоростей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ (рис. 3). Для невесомого жгута эта скорость $\omega_{2}$ больше.
рис.2
рис.3
Шарик массой $M$ прикреплён к концу упругого жгута массой $m$, длина которого в недеформированном состоянии равна $L_{0}$. Жгут с шариком вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через другой конец жгута. Шарик скользит по гладкой поверхности, жгут не провисает. Как зависит расстояние шарика до оси вращения $L$ от угловой скорости $\omega$? При растяжении жгута изменением его сечения $S$ можно пренебречь. Жгут подчиняется закону Гука при любых деформациях. Модуль Юнга равен $E$.
Решение:
рис.1
Для решения задачи нужно проанализировать движение системы. Запишем для установившегося движения шарика по окружности уравнение второго закона Ньютона:
$M \omega^{2} L = F$, (1)
где $F$ - сила упругости, приложенная к шарику (рис. 1). Поскольку деформация жгута неоднородна, для нахождения $F$ следует рассмотреть движение малого его элемента длиной $dx$ и массой $dm$ (рис.1). Длина этого элемента в недеформированном состоянии равна $dx_{0}$. Запишем для него второй закон Ньютона:
$dm \omega^{2} x = dF (x)$, (2)
где $x$ - координата выбранного элемента, $dF(x)$ - действующая на него сила упругости. Масса элемента $dm = \rho_{0} Sdx_{0} = \rho(0) Sdx, \rho_{0}$ - плотность недеформированного жгута, а $\rho(x)$ - плотность жгута в точке $x$. В соответствии с законом Гука,
$F(x) = - SE \frac{dx – dx_{0}}{dx_{0}} = - SE \left ( \frac{\rho_{0}}{ \rho(x)} -1 \right )$. (3)
Подставляя $dm$ в (2), получим:
$\rho(x) S \omega^{2} xdx = ES \rho_{0} \frac{dp}{ \rho^{2} (x)}$, или
$xdx = A \frac{d \rho}{ \rho^{3}(x)}$, (4)
$A = \frac{E \rho_{0}}{ \omega^{2}}$. (5)
Проинтегрировав (4) от $x$ до $L$, получим
$x^{2} - L^{2} = A \left ( \frac{1}{ \rho^{2}(L)} - \frac{1}{ \rho^{2} (x)} \right )$. (6)
Величину $\rho( L)$ выразим из (1), подставив в неё (3):
$\frac{1}{ \rho(L)} = \frac{1}{ \rho_{0}} \left ( 1 + \frac{M \omega^{2} L}{ES} \right )$. (7)
Из (6) и (7) получим:
$ \frac{1}{ \rho^{2}(x)} = \frac{1}{A} (a^{2} – x^{2})$, где $a^{2} = A \left ( \frac{1}{\rho_{0}} + \frac{ML}{AS} \right ) + L^{2}$
Функция $\rho(x)$ позволяет выразить массу жгута следующим образом:
$m = S \int_{0}^{L} \rho(x) dx = S \int_{0}^{L} \frac{ \sqrt{A} dx}{ \sqrt{a^{2} – x^{2}}}$. (8)
Вычислим интеграл в (8) и подставим $m = \rho_{0} SL_{0}$:
$\rho_{0} SL_{0} = S \sqrt{A} arcsin \frac{L}{a}$, или
$\sin \left ( \frac{ \rho_{0}L_{0}}{ \sqrt{A}} \right ) = \frac{1}{ \sqrt{ 1 + \frac{A}{}AL^{2} \left ( \frac{A}{ \rho_{0}} + \frac{ML}{S} \right )^{2} }}$ (9)
Формула (9) содержит в неявном виде искомую зависимость $L$ от $\omega$, поскольку $A \sim \omega^{-2}$ согласно (5).
Проанализируем эту зависимость. При $\omega \rightarrow 0 (A \rightarrow \infty)$, получаем $L_{0} \approx L$. Естественно, при медленном вращении жгут деформируется незначительно. При $L \rightarrow \infty$ в правой части (9) получается $ \left ( 1 + \frac{M^{2}}{AS^{2}} \right )^{-1/2}$. Левую часть преобразуем с помощью тригонометрического тождества
$\sin \alpha = \left ( 1 + \frac{1}{ tg^{2} \alpha} \right )^{-1/2}$.
Тогда получим
$tg \left ( \frac{ \rho_{0} L_{0}}{ \sqrt{A}} \right ) = \frac{ \sqrt{A} S}{M}$,
после подстановки (5)
$tg \left ( \omega L_{0} \sqrt{ \frac{ \rho_{0}}{E}} \right ) = S \frac{ \sqrt{ \rho_{0}E}}{M \omega}$. (10)
Таким образом, когда угловая скорость стремится к критическому значению, являющемуся решением уравнения (10), длина нити неограниченно увеличивается. Проще осознать эту особенность для невесомой нити. При $\rho_{0} \rightarrow 0$ из (10) получается
$M \omega^{2} L_{0} = SE$. (11)
Уравнение движения шарика в этом случае имеет вид
$M \omega^{2} L = \frac{SE}{L_{0}} (L-L_{0}) = f(L)$. (12)
Корень этого уравнения и определяет длину $L$ при установившемся движении. Графическое решение этого уравнения представлено на рисунке 2 (рядом с обозначениями углов указаны значения их тангенсов). Наклон прямой, проходящей через начало координат, увеличивается с ростом $\omega$. При достижении критического значения, совпадающего с решением уравнения (11), прямые оказываются параллельными, то есть $L \rightarrow \infty$. Сила упругости не в состоянии обеспечить необходимого центростремительного ускорения.
Наглядное представление функциональных зависимостей дают графики. Построить графики функций, заданных неявно или громоздкими выражениями, помогает компьютер. На рисунке 3 изображены полученные с помощью МаthСАD график функции $L( \omega)$, построенный по формуле (9) (сплошная линия), а также график аналогичной зависимости, даваемой формулой (12) (штрихованная линия). Видно, что различие в поведении массивного жгута и невесомого проявляются только вблизи критических угловых скоростей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ (рис. 3). Для невесомого жгута эта скорость $\omega_{2}$ больше.
рис.2
рис.3
