ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Катушку с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$ подключили в момент $t = 0$ к источнику напряжения $U = U_{m} \cos \omega t$. Найти ток в катушке как функцию времени $t$.


Решение:


Уравнение цепи ($I$ - ток)

$L \frac{dI}{dt} + RI = V_{m} \cos \omega t$

Из теории дифференциальных уравнений

$I = I_{P} + I_{C}$

где $I_{P}$ - частный интеграл, а $I_{C}$ - дополнительная функция (решение дифференциального уравнения с RHS = 0). Тогда

$I_{C} = I_{CO} e^{ - tR/L}$

и для $I_{P}$ записываем $I_{P} = I_{m} \cos ( \omega t - \phi)$
Подставляя, получаем

$I_{m} = \frac{V_{m} }{ \sqrt{R^{2} + \omega^{2}L^{2} } }, \phi = tg^{-1} \frac{ \omega L}{R}$

Таким образом $I_{m} = \frac{V_{m} }{ \sqrt{R^{2} + \omega^{2}L^{2} } } \cos ( \omega t - \phi) + I_{CO} e^{ - tR/L}$

В индуктивной цепи $I = 0$ при $t = 0$, потому что ток не может внезапно измениться.

Таким образом $I_{CO} = - \frac{V_{m} }{ \sqrt{R^{2} + \omega^{2}L^{2} } } \cos \phi$

Итак $I = \frac{V_{m} }{ \sqrt{R^{2} + \omega^{2}L^{2} } } ( \cos ( \omega t - \phi ) - \cos \phi e^{ - t R/L } )$