ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Контур состоит из последовательно включенных конденсатора емкости $C$, катушки индуктивности $L$, ключа и сопротивления, равного критическому для данного контура. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения $U_{0}$ и в момент $t = 0$ ключ замкнули. Найти ток $I$ в контуре как функцию времени $t$. Чему равен $I_{макс}$?


Решение:



$0 = \frac{q}{C} + L \frac{dI}{dt} + RI, I = + \frac{dq}{dt}$

Для критического случая $R = 2 \sqrt{ \frac{L}{C} }$

Таким образом, $LC \ddot{q} + 2 \sqrt{LC} \dot{q} + q = 0$
Ищем решение с $q \sim e^{ \alpha t}$

$\alpha = - \frac{1}{ \sqrt{LC } } $.

Независимым решением является $te^{ \alpha t}$. Таким образом

$q = (A + Bt)e^{ -t / \sqrt{LC} } $,
В $t = 0, q= CV_{0}$ Таким образом $A = CV_{0}$

Также в $t = 0 \dot{t} = I = 0$

$0 = B - A \frac{1}{ \sqrt{LC} } \Rightarrow B = V_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} }$

Таким образом, окончательно $I = \frac{dq}{dt} = V_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} } e^{ - t / \sqrt{LC} } - \frac{1}{ \sqrt{LC} } \left ( CV_{0} + V_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} } t \right ) e^{ -t / \sqrt{LC} } = - \frac{V_{0} }{L} te^{ - t/ \sqrt{LC} }$

Ток был определен при увеличении заряда. Следовательно знак минус.
Ток является максимальным, когда

$\frac{dI}{dt} = - \frac{V_{0} }{L} e^{ - t / \sqrt{LC} } \left ( 1 - \frac{t}{ \sqrt{LC} } \right ) = 0$

Это дает $t = \sqrt{LC}$, а величина максимального тока равна

$|I_{max}| = \frac{V_{0}}{e} \sqrt{ \frac{C}{L} }$.