Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7867
2018-05-31 
Имеются два колебательных контура (рис.) с конденсаторами одинаковой емкости. При каком соотношении между индуктивностями и активными сопротивлениями катушек частоты и затухание свободных колебаний в обоих контурах будут одинаковыми? Взаимная индуктивность катушек левого контура пренебрежимо мала.
Решение:
Имеем
$L_{1} \dot{I}_{1} + R_{1}I_{1} = L_{2} \dot{I}_{2} + R_{2} I_{2} = - \frac{ \int Idt }{C}$
$I = I_{1} + I_{2}$
Тогда, дифференцируя, имеем уравнения
$L_{1}C \ddot{I}_{1} + R_{1}C \dot{I}_{1} + (I_{1} + I_{2}) = 0$
$L_{2}C \ddot{I}_{2} + R_{2}C \dot{I}_{2} + (I_{1} + I_{2}) = 0$
Ищем решение
$I_{1} = A_{1} e^{ \alpha t}, I_{2} = A_{2}e^{ \alpha t}$
Тогда $(1 + \alpha^{2} L_{1}C + \alpha R_{1} C) A_{1} + A_{2} = 0$
$A_{1} + (1 + \alpha^{2} L_{2}C + \alpha R_{2}C )A_{2} = 0$
Эта система уравнений имеет нетривиальное решение, только если
$(1+ \alpha^{2} 2L_{1}C + \alpha R_{1}C)(1 + \alpha^{2} L_{2}C + \alpha R_{2}C) = 1$
или $\alpha^{3} + \alpha^{2} \frac{L_{1}R_{2} + L_{2}R_{1} }{L_{1}L_{2} } + \alpha \frac{L_{1} +L_{2} + R_{1}R_{2}C }{L_{1}L_{2}C } + \frac{R_{1} + R_{2} }{L_{1}L_{2}C } = 0$
Это кубическое уравнение имеет один реальный корень, который мы игнорируем, и два комплексно-сопряженных корня. Требуется условие, чтобы эта пара комплексно сопряженных корней совпадала с корнями уравнения
$\alpha^{2} LC + \alpha RC + 1 = 0$
Общее решение этой задачи сложное. Найдем специальные случаи. Если $R_{1} = R_{2} = 0$, то $R = 0$ и $L = \frac{L_{1}L_{2} }{L_{1} + L_{2} }$. Если $L_{1} = L_{2} = 0$, то $L = 0$ и $R = R_{1}R_{2} / (R_{1} + R_{2})$. Это цитируемое решение, но они вводят в заблуждение. Дадим решение для малых $R_{1},R_{2}$. Положим $\alpha = - \beta + i \omega$, когда $\beta$ мало
Получаем $(1 - \omega^{2}L_{1} C - 2 i \beta \omega L_{1} C - \beta C + i \omega R_{1} C)$
$(1 - \omega^{2}L_{2}C - 2i \beta \omega L_{2}C - \beta C + i \omega R_{2}C) = 1$
(мы пренебрегаем $\beta^{2}$ и $\beta R_{1}, \beta R_{2}$). Тогда
$(1 - \omega^{2} L_{1}C )(1 - \omega^{2}L_{2}C) = 1 \Rightarrow \omega^{2} = \frac{L_{1} + L_{2} }{L_{1}L_{2}C }$
Это идентично $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$ если $L = \frac{L_{1}L_{2} }{L_{1} + L_{2} }$.
также $(2 \beta L_{1} - R_{1} )(1 - \omega^{2}L_{2}C ) + (2 \beta L_{2} - R_{2} )(1 - \omega^{2} L_{2}C ) = 0$
Это дает $\beta = \frac{R}{2L} = \frac{R_{1}L_{2}^{2} + R_{2}L_{1}^{2} }{2L_{1}L_{2}(L_{1} + L_{2} ) } \Rightarrow R = \frac{R_{1}L_{2}^{2} + R_{2}L_{1}^{2} }{(L_{1} + L_{2} )^{2} }$.
Имеются два колебательных контура (рис.) с конденсаторами одинаковой емкости. При каком соотношении между индуктивностями и активными сопротивлениями катушек частоты и затухание свободных колебаний в обоих контурах будут одинаковыми? Взаимная индуктивность катушек левого контура пренебрежимо мала.
Решение:
Имеем
$L_{1} \dot{I}_{1} + R_{1}I_{1} = L_{2} \dot{I}_{2} + R_{2} I_{2} = - \frac{ \int Idt }{C}$
$I = I_{1} + I_{2}$
Тогда, дифференцируя, имеем уравнения
$L_{1}C \ddot{I}_{1} + R_{1}C \dot{I}_{1} + (I_{1} + I_{2}) = 0$
$L_{2}C \ddot{I}_{2} + R_{2}C \dot{I}_{2} + (I_{1} + I_{2}) = 0$
Ищем решение
$I_{1} = A_{1} e^{ \alpha t}, I_{2} = A_{2}e^{ \alpha t}$
Тогда $(1 + \alpha^{2} L_{1}C + \alpha R_{1} C) A_{1} + A_{2} = 0$
$A_{1} + (1 + \alpha^{2} L_{2}C + \alpha R_{2}C )A_{2} = 0$
Эта система уравнений имеет нетривиальное решение, только если
$(1+ \alpha^{2} 2L_{1}C + \alpha R_{1}C)(1 + \alpha^{2} L_{2}C + \alpha R_{2}C) = 1$
или $\alpha^{3} + \alpha^{2} \frac{L_{1}R_{2} + L_{2}R_{1} }{L_{1}L_{2} } + \alpha \frac{L_{1} +L_{2} + R_{1}R_{2}C }{L_{1}L_{2}C } + \frac{R_{1} + R_{2} }{L_{1}L_{2}C } = 0$
Это кубическое уравнение имеет один реальный корень, который мы игнорируем, и два комплексно-сопряженных корня. Требуется условие, чтобы эта пара комплексно сопряженных корней совпадала с корнями уравнения
$\alpha^{2} LC + \alpha RC + 1 = 0$
Общее решение этой задачи сложное. Найдем специальные случаи. Если $R_{1} = R_{2} = 0$, то $R = 0$ и $L = \frac{L_{1}L_{2} }{L_{1} + L_{2} }$. Если $L_{1} = L_{2} = 0$, то $L = 0$ и $R = R_{1}R_{2} / (R_{1} + R_{2})$. Это цитируемое решение, но они вводят в заблуждение. Дадим решение для малых $R_{1},R_{2}$. Положим $\alpha = - \beta + i \omega$, когда $\beta$ мало
Получаем $(1 - \omega^{2}L_{1} C - 2 i \beta \omega L_{1} C - \beta C + i \omega R_{1} C)$
$(1 - \omega^{2}L_{2}C - 2i \beta \omega L_{2}C - \beta C + i \omega R_{2}C) = 1$
(мы пренебрегаем $\beta^{2}$ и $\beta R_{1}, \beta R_{2}$). Тогда
$(1 - \omega^{2} L_{1}C )(1 - \omega^{2}L_{2}C) = 1 \Rightarrow \omega^{2} = \frac{L_{1} + L_{2} }{L_{1}L_{2}C }$
Это идентично $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$ если $L = \frac{L_{1}L_{2} }{L_{1} + L_{2} }$.
также $(2 \beta L_{1} - R_{1} )(1 - \omega^{2}L_{2}C ) + (2 \beta L_{2} - R_{2} )(1 - \omega^{2} L_{2}C ) = 0$
Это дает $\beta = \frac{R}{2L} = \frac{R_{1}L_{2}^{2} + R_{2}L_{1}^{2} }{2L_{1}L_{2}(L_{1} + L_{2} ) } \Rightarrow R = \frac{R_{1}L_{2}^{2} + R_{2}L_{1}^{2} }{(L_{1} + L_{2} )^{2} }$.
