ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Найти частоту затухающих колебаний контура, показанного на рис. Емкость $C$, индуктивность $L$ и активное сопротивление $R$ предполагаются известными. Выяснить, при каком соотношении между $C,L$ и $R$ колебания возможны.



Решение:



При условии $q = q_{1} + q_{2}$
$I_{1} = - \dot{q}_{1}, I_{2} = - \dot{q}_{2}$
$LI_{1} = RI_{2} = \frac{q}{C}$.

Таким образом, $CL \ddot{q}_{1} + (q_{1} + q_{2}) = 0$

$RC \dot{q}_{2} + q_{1} + q_{2} = 0$

Подставляя $q_{1} = Ae^{ i \omega t} q_{2} = Be^{ + i \omega t}$

$(1 - \omega^{2}LC)A + B = 0$
$A + (1 + i \omega RC) B = 0$

Решение существует только в том случае, если

$(1 - \omega^{2}LC )(1 + i \omega RC) = 1$

или $i \omega RC - \omega^{2} LC - i \omega^{3} LRC^{2} = 0$

или $LRC^{@} \omega^{2} - i \omega LC - RC = 0$
$\omega^{2} - i \omega \frac{1}{RC} - \frac{1}{LC} = 0$
$\omega = \frac{i}{2RC} \pm \sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{1}{4R^{2}C^{2} } } \approx i \beta \pm \omega_{0}$

Таким образом, $q_{1} = ( A_{1} \cos \omega t + A_{2} \sin \omega_{0}t) e^{ - \beta t}$ и т.д.

$\omega_{0}$ - частота колебаний. Осцилляции возможны, только если $\omega_{0}^{2} > 0$
то есть $\frac{1}{4R^{2} } < \frac{C}{L}$.