Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7862
2018-05-31 
Колебательный контур содержит конденсатор с утечкой. Емкость конденсатора $C$, его активное сопротивление $R$. Индуктивность катушки $L$. Сопротивление катушки и проводов пренебрежимо мало. Найти:
а) частоту затухающих колебаний такого контура;
б) его добротность.
Решение:
В герметичном конденсаторе
$\frac{dq}{dt} = I - I^{ \prime}$ где $I^{ \prime} = \frac{V}{R} =$ ток утечки
Тогда $V = \frac{q}{C} = - L \frac{dI}{dt} = - L \frac{d}{dt} \left ( \frac{dq}{dt} + \frac{V}{R} \right ) = - L \frac{d^{2}q }{dt^{2} } - \frac{L}{RC} \frac{dq}{dt}$
или $\ddot{q} + \frac{1}{RC} \frac{dQ}{dt} + \frac{1}{LC} q = 0$
Тогда $q = q_{m} e^{ - \beta t} \sin ( \omega t + \alpha)$
(a) $\beta = \frac{1}{2RC}, \omega_{0}^{2} = \frac{1}{LC}, \omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } = \sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{1}{4R^{2}C^{2} } }$
(б) $Q = \frac{ \omega }{2 \beta} = RC \sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{1}{4R^{2}C^{2} } } = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{4CR^{2} }{L} - 1}$
Колебательный контур содержит конденсатор с утечкой. Емкость конденсатора $C$, его активное сопротивление $R$. Индуктивность катушки $L$. Сопротивление катушки и проводов пренебрежимо мало. Найти:
а) частоту затухающих колебаний такого контура;
б) его добротность.
Решение:
В герметичном конденсаторе
$\frac{dq}{dt} = I - I^{ \prime}$ где $I^{ \prime} = \frac{V}{R} =$ ток утечки
Тогда $V = \frac{q}{C} = - L \frac{dI}{dt} = - L \frac{d}{dt} \left ( \frac{dq}{dt} + \frac{V}{R} \right ) = - L \frac{d^{2}q }{dt^{2} } - \frac{L}{RC} \frac{dq}{dt}$
или $\ddot{q} + \frac{1}{RC} \frac{dQ}{dt} + \frac{1}{LC} q = 0$
Тогда $q = q_{m} e^{ - \beta t} \sin ( \omega t + \alpha)$
(a) $\beta = \frac{1}{2RC}, \omega_{0}^{2} = \frac{1}{LC}, \omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } = \sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{1}{4R^{2}C^{2} } }$
(б) $Q = \frac{ \omega }{2 \beta} = RC \sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{1}{4R^{2}C^{2} } } = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{4CR^{2} }{L} - 1}$
