Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 786
2016-09-04 
В данной задаче исследуются некоторые особенности распространения волн в жидкостях.
1. На поверхности океанов иногда наблюдаются гигантские волны - цунами. Найдите скорость таких волн, предполагая, что длина волны много больше глубины океана $h$. При этом условии в волновое движение вовлекаются все частицы воды, в противном случае только те частицы, которые находятся в поверхностном слое толщиной порядка длины волны.
2. Вблизи прямолинейного участка берега моря на расстоянии $L$ от него произошёл взрыв. Считая, что дно моря слабо отличается от наклонной плоскости, найдите длину участка берега, до которого дойдут волны, порождённые взрывом. Считать, что глубина моря в месте взрыва достаточно мала.
Решение:
рис.1
рис.2
Пусть цунами перемещается вдоль оси $x$ со скоростью $v$. Рассмотрим движение частиц воды в системе отсчёта, связанной с горбом волны (рис. 1).
Вдали от горба в сечении 1 вода относительно этой системы отсчёта движется со скоростью $v$ в направлении, противоположном оси $x$. В области горба горизонтальная составляющая скорости частиц воды равна $u$. Вследствие несжимаемости жидкости, массы воды, проходящей за время $\Delta t$ через сечения 1 и 2, равны:
$\rho hbv \Delta t = \rho h_{1}bu \Delta t$,
где $\rho$ - плотность воды, $b$ - толщина рассматриваемого слоя воды в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка. Из полученного соотношения следует
$u = v \frac{h}{h_{1}}$. (1)
Применим к воде рассматриваемого слоя, которая заключена в объёме между сечениями 1 и 2, закон изменения импульса за время $\Delta t$:
$\rho vbhv \Delta t - \rho u bhv \Delta t = \frac{1}{2}(- \rho g h^{2} b + \rho gh_{1}^{2}b) \Delta t$, или $hv(v-u) = \frac{g}{2}(h_{1} – h)(h+h_{1})$,
где $g$ - ускорение свободного падения, а множитель $1/2$ учитывает линейное уменьшение давления с высотой.
Подставляя в последнее выражение (1) и учитывая, что высота волны существенно меньше глубины водоёма, то есть $h + h_{1} \approx 2h$, получим
$v \approx \sqrt{gh}$.
Этот результат ограничен требованием малости глубины $h$ по сравнению с длиной волны $\lambda$. В противном случае в волновое движение вовлекается только слой воды глубиной порядка $\lambda$. Тогда скорость волны выражается приближённой формулой
$v \sim \sqrt{g \lambda}$, или точнее $v = \sqrt{g \frac{ \lambda}{2 \pi}}$.
Скорость волн, о которых идёт речь во втором пункте, уменьшается при приближении к берегу, в соответствии с полученным выше результатом:
$v(x) = \sqrt{gx tg \alpha}$, (2)
где $\phi$ - угол наклона к горизонту морского дна. Эта зависимость приводит к искривлению линии (волнового луча), вдоль которой распространяется волна. Изменение направления волнового луча определяется соотношением, которое чаще всего используется для оптических волн:
$\frac{ \sin \phi_{1}}{ \sin \phi_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$, (3)
где $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ - углы падения и преломления луча на границе сред, скорости распространения волн в которых равны соответственно $v_{1}$ и $v_{2}$. Соотношение (3) можно переписать следующим образом:
$\frac{ \sin \phi_{1}}{v_{1}} = \frac{ \sin \phi_{2}}{v_{2}} = \frac{ \sin \phi}{v} = const$. (4)
В таком виде формула (4) применима и к непрерывному изменению угла $\phi$ (искривлению луча), если скорость волны плавно изменяется от точки к точке.
Для определения положения точки на поверхности моря введём декартову систему координат так, чтобы ось $y$ была направлена вдоль берега, а ось $x$ проходила через точку с координатой $x = L$, в которой произошёл взрыв, вызвавший волны. Рассмотрим искривление луча, попадающего в точку берега с координатой $y_{m}$, наиболее удалённую от места взрыва (рис.2). Из этого рисунка видно, что
$tg \phi = - \frac{dy}{dx}$. (5)
В соотношение (3) подставим выражение (2) и учтём, что при $x \rightarrow L$ угол падения $\phi \rightarrow \pi / 2$:
$\frac{ \sin \phi}{ \sqrt{gx tg \alpha}} = \frac{1}{ \sqrt{gL tg \alpha}}$, отсюда $\sin \phi = \sqrt{ \frac{x}{L}}$.
Последнее выражение позволяет переписать (5) в виде:
$- \frac{dy}{dx} = \frac{ \sin \phi}{ \sqrt{1 - \sin^{2} \phi}} = \sqrt{ \frac{x}{L -x}}$.
Остаётся проинтегрировать это уравнение:
$y_{m} = - \int_{L}^{0} \sqrt{ \frac{x}{L -x}} dx$.
Используя подстановку $x = L \sin^{2} \beta$, получим
$y_{m} = L \int_{0}^{ \pi /2} \frac{ \sin \beta}{ \cos \beta} 2 \cos \beta \sin \beta d \beta = L \int_{0}^{ \pi /2} 2 \sin^{2} \beta d \beta = L \frac{ \pi}{2}$.
Таким образом, длина участка берега, до которого дойдут волны, порождённые взрывом, равна $2 y_{m} = \pi L$.
В данной задаче исследуются некоторые особенности распространения волн в жидкостях.
1. На поверхности океанов иногда наблюдаются гигантские волны - цунами. Найдите скорость таких волн, предполагая, что длина волны много больше глубины океана $h$. При этом условии в волновое движение вовлекаются все частицы воды, в противном случае только те частицы, которые находятся в поверхностном слое толщиной порядка длины волны.
2. Вблизи прямолинейного участка берега моря на расстоянии $L$ от него произошёл взрыв. Считая, что дно моря слабо отличается от наклонной плоскости, найдите длину участка берега, до которого дойдут волны, порождённые взрывом. Считать, что глубина моря в месте взрыва достаточно мала.
Решение:
рис.1
рис.2
Пусть цунами перемещается вдоль оси $x$ со скоростью $v$. Рассмотрим движение частиц воды в системе отсчёта, связанной с горбом волны (рис. 1).
Вдали от горба в сечении 1 вода относительно этой системы отсчёта движется со скоростью $v$ в направлении, противоположном оси $x$. В области горба горизонтальная составляющая скорости частиц воды равна $u$. Вследствие несжимаемости жидкости, массы воды, проходящей за время $\Delta t$ через сечения 1 и 2, равны:
$\rho hbv \Delta t = \rho h_{1}bu \Delta t$,
где $\rho$ - плотность воды, $b$ - толщина рассматриваемого слоя воды в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка. Из полученного соотношения следует
$u = v \frac{h}{h_{1}}$. (1)
Применим к воде рассматриваемого слоя, которая заключена в объёме между сечениями 1 и 2, закон изменения импульса за время $\Delta t$:
$\rho vbhv \Delta t - \rho u bhv \Delta t = \frac{1}{2}(- \rho g h^{2} b + \rho gh_{1}^{2}b) \Delta t$, или $hv(v-u) = \frac{g}{2}(h_{1} – h)(h+h_{1})$,
где $g$ - ускорение свободного падения, а множитель $1/2$ учитывает линейное уменьшение давления с высотой.
Подставляя в последнее выражение (1) и учитывая, что высота волны существенно меньше глубины водоёма, то есть $h + h_{1} \approx 2h$, получим
$v \approx \sqrt{gh}$.
Этот результат ограничен требованием малости глубины $h$ по сравнению с длиной волны $\lambda$. В противном случае в волновое движение вовлекается только слой воды глубиной порядка $\lambda$. Тогда скорость волны выражается приближённой формулой
$v \sim \sqrt{g \lambda}$, или точнее $v = \sqrt{g \frac{ \lambda}{2 \pi}}$.
Скорость волн, о которых идёт речь во втором пункте, уменьшается при приближении к берегу, в соответствии с полученным выше результатом:
$v(x) = \sqrt{gx tg \alpha}$, (2)
где $\phi$ - угол наклона к горизонту морского дна. Эта зависимость приводит к искривлению линии (волнового луча), вдоль которой распространяется волна. Изменение направления волнового луча определяется соотношением, которое чаще всего используется для оптических волн:
$\frac{ \sin \phi_{1}}{ \sin \phi_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$, (3)
где $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ - углы падения и преломления луча на границе сред, скорости распространения волн в которых равны соответственно $v_{1}$ и $v_{2}$. Соотношение (3) можно переписать следующим образом:
$\frac{ \sin \phi_{1}}{v_{1}} = \frac{ \sin \phi_{2}}{v_{2}} = \frac{ \sin \phi}{v} = const$. (4)
В таком виде формула (4) применима и к непрерывному изменению угла $\phi$ (искривлению луча), если скорость волны плавно изменяется от точки к точке.
Для определения положения точки на поверхности моря введём декартову систему координат так, чтобы ось $y$ была направлена вдоль берега, а ось $x$ проходила через точку с координатой $x = L$, в которой произошёл взрыв, вызвавший волны. Рассмотрим искривление луча, попадающего в точку берега с координатой $y_{m}$, наиболее удалённую от места взрыва (рис.2). Из этого рисунка видно, что
$tg \phi = - \frac{dy}{dx}$. (5)
В соотношение (3) подставим выражение (2) и учтём, что при $x \rightarrow L$ угол падения $\phi \rightarrow \pi / 2$:
$\frac{ \sin \phi}{ \sqrt{gx tg \alpha}} = \frac{1}{ \sqrt{gL tg \alpha}}$, отсюда $\sin \phi = \sqrt{ \frac{x}{L}}$.
Последнее выражение позволяет переписать (5) в виде:
$- \frac{dy}{dx} = \frac{ \sin \phi}{ \sqrt{1 - \sin^{2} \phi}} = \sqrt{ \frac{x}{L -x}}$.
Остаётся проинтегрировать это уравнение:
$y_{m} = - \int_{L}^{0} \sqrt{ \frac{x}{L -x}} dx$.
Используя подстановку $x = L \sin^{2} \beta$, получим
$y_{m} = L \int_{0}^{ \pi /2} \frac{ \sin \beta}{ \cos \beta} 2 \cos \beta \sin \beta d \beta = L \int_{0}^{ \pi /2} 2 \sin^{2} \beta d \beta = L \frac{ \pi}{2}$.
Таким образом, длина участка берега, до которого дойдут волны, порождённые взрывом, равна $2 y_{m} = \pi L$.
