Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7855
2018-05-31 
Колебательный контур состоит из конденсатора емкости $C = 4,0 мкФ$ и катушки с индуктивностью $L = 2,0 мГ$ и активным сопротивлением $R = 10 Ом$. Найти отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора в момент максимума тока.
Решение:
$I = I_{m} e^{ - \beta t} \sin \omega t$
$\beta = \frac{R}{2L}, \omega_{0} = \sqrt{ \frac{1}{LC} }, \omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} }$
$I = - \dot{q}, q$ - заряд на конденсаторе
Тогда $q = I_{m}e^{ - \beta t} \frac{ \sin ( \omega t + \delta ) }{ \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2} } }, tg \delta = \frac{ \omega }{ \beta}$.
Таким образом, $W_{M} = \frac{1}{2} LI_{m}^{2} e^{ -2 \beta t} \sin^{2} \omega t$
$W_{E} = \frac{I_{m}^{2} }{2C} \frac{e^{ - 2 \beta t} \sin^{2} ( \omega t + \delta ) }{ \omega^{2} + \beta^{2} } = \frac{LI_{m}^{2} }{2} e^{-2 \beta t} \sin^{2} ( \omega t + \delta)$
Ток максимален, когда $\frac{d}{dt} e^{ - \beta t} \sin \omega t = 0$
Таким образом $- \beta \sin \omega t + \omega \cos \omega t = 0$
или $tg \omega t = \frac{ \omega}{ \beta} = tg \delta$
то есть $\omega t = n \pi + \delta$
и поэтому $\frac{W_{M} }{W_{E} } = \frac{ \sin^{2} ( \omega t) }{ \sin^{2} ( \omega t + \delta ) } = \frac{ \sin^{2} \delta }{ \sin^{2} 2 \delta } = \frac{1}{2 \cos^{2} \delta } = \frac{1}{4 \beta^{2} / \omega_{0}^{2} } = \frac{ \omega_{0}^{2} }{ 4 \beta^{2} } = \frac{1}{LC} \frac{L^{2} }{R^{2} } = \frac{L}{CR^{2} } = 5$.
($W_{M}$ - магнитная энергия катушки индуктивности, $W_{E}$ - электрическая энергия конденсатора).
Колебательный контур состоит из конденсатора емкости $C = 4,0 мкФ$ и катушки с индуктивностью $L = 2,0 мГ$ и активным сопротивлением $R = 10 Ом$. Найти отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора в момент максимума тока.
Решение:
$I = I_{m} e^{ - \beta t} \sin \omega t$
$\beta = \frac{R}{2L}, \omega_{0} = \sqrt{ \frac{1}{LC} }, \omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} }$
$I = - \dot{q}, q$ - заряд на конденсаторе
Тогда $q = I_{m}e^{ - \beta t} \frac{ \sin ( \omega t + \delta ) }{ \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2} } }, tg \delta = \frac{ \omega }{ \beta}$.
Таким образом, $W_{M} = \frac{1}{2} LI_{m}^{2} e^{ -2 \beta t} \sin^{2} \omega t$
$W_{E} = \frac{I_{m}^{2} }{2C} \frac{e^{ - 2 \beta t} \sin^{2} ( \omega t + \delta ) }{ \omega^{2} + \beta^{2} } = \frac{LI_{m}^{2} }{2} e^{-2 \beta t} \sin^{2} ( \omega t + \delta)$
Ток максимален, когда $\frac{d}{dt} e^{ - \beta t} \sin \omega t = 0$
Таким образом $- \beta \sin \omega t + \omega \cos \omega t = 0$
или $tg \omega t = \frac{ \omega}{ \beta} = tg \delta$
то есть $\omega t = n \pi + \delta$
и поэтому $\frac{W_{M} }{W_{E} } = \frac{ \sin^{2} ( \omega t) }{ \sin^{2} ( \omega t + \delta ) } = \frac{ \sin^{2} \delta }{ \sin^{2} 2 \delta } = \frac{1}{2 \cos^{2} \delta } = \frac{1}{4 \beta^{2} / \omega_{0}^{2} } = \frac{ \omega_{0}^{2} }{ 4 \beta^{2} } = \frac{1}{LC} \frac{L^{2} }{R^{2} } = \frac{L}{CR^{2} } = 5$.
($W_{M}$ - магнитная энергия катушки индуктивности, $W_{E}$ - электрическая энергия конденсатора).
