ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
В контуре с емкостью $C$ и индуктивностью $L$ происходят свободные затухающие колебания, при которых ток меняется во времени по закону $I = I_{m} e^{ - \beta t} \sin \omega t$. Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени и, в частности, в момент $t = 0$.


Решение:


Запишем
$- \frac{dQ}{dt} = I = I_{m} e^{ - \beta t} \sin \omega t = gm I_{m} e^{ - beta t+ i \omega t }$ ($gm$ означает мнимую часть)

Тогда

$Q = gm I_{m} \frac{ e^{ - \beta t + i \omega t} }{ - \beta + i \omega}$
$Q = gm I_{m} \frac{ e^{ - \beta t + i \omega t} }{ \beta - i \omega} = gm I_{m} \frac{ ( \beta + i \omega ) e^{ - \beta t + i \omega t} }{ \beta^{2} + \omega^{2} } = I_{m} e^{ - \beta t} \frac{ \beta \sin \omega t + \omega \cos \omega t }{ \beta^{2} + \omega^{2} } = I_{m} e^{ - \beta t} \frac{ \sin ( \omega t + \delta) }{ \sqrt{ \beta^{2} + \omega^{2} } }, tg \delta = \frac{ \omega }{ \beta}$

(Произвольная константа интегрирования была равна нулю).

Таким образом

$V = \frac{Q}{C} = I_{m} \sqrt{ \frac{L}{C} } e^{ - \beta t} \sin ( \omega t + \delta)$
$V(0) = I_{m} \sqrt{ \frac{L}{C} } \sin \delta = I_{m} \sqrt{ \frac{L}{C} } \frac{ \omega}{ \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2} } } = I_{m} \sqrt{ \frac{L}{C(1 + \beta^{2} / \omega^{2} ) } }$