ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Некоторый колебательный контур содержит конденсатор емкости $C$, катушку с индуктивностью $L$ и активным сопротивлением $R$, а также ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, после чего ключ замкнули, и начались колебания. Найти отношение напряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в момент непосредственно после замыкания ключа.


Решение:


Уравнение контура

$L \frac{d^{2}Q }{dt^{2} } + R \frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = 0$

где $Q$ - заряд на конденсаторе,
Решение $Q = Q_{m} e^{ - \beta t} \sin ( \omega t + \alpha)$

где $\beta = \frac{R}{2L}, \omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} }, \omega_{0}^{2} = \frac{1}{LC}$.

Тогда $I = \frac{dQ}{dt} = 0$ $r = 0$

Итак, $Q_{m} e^{ - \beta t} ( - \beta \sin ( \omega t + \alpha) + \omega \cos ( \omega t + \alpha) ) = 0$ $t = 0$

Таким образом $\omega \cos \alpha = \beta \sin \alpha$ или $\alpha = tg^{ -1} \frac{ \omega}{ \beta}$

Тогда $V_{m} = \frac{Q_{m} }{C}$ $V_{0} =$ разность потенциалов при $t = 0 = \frac{Q_{m} }{C} \sin \alpha$

$\frac{V_{0} }{V_{m} } = \sin \alpha = \frac{ \omega }{ \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2} } } = \frac{ \omega }{ \omega_{0} } = \sqrt{ 1 - \beta^{2} / \omega_{0}^{2} } = \sqrt{ 1 - \frac{R^{2}C }{2L^{2} } }$