ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Электрическая цепь (рис.) имеет пренебрежимо малое активное сопротивление. Левый конденсатор зарядили до напряжения $U_{0}$ и затем — в момент $t = 0$ — замкнули ключ К. Найти зависимость от времени $t$ напряжений на левом и правом конденсаторах.



Решение:



Изначально $q_{1} =C ?V_{0}$ и $q_{2} = 0$. После того, как переключатель нажат, мы получим

$q_{1} + q_{2} = CV_{0}$
$\frac{q_{1} }{C} + L \frac{dI}{dt} - \frac{q_{2} }{C} = 0$ (1)

Также $I = \dot{q}_{1} = - \dot{q}_{2}$. Таким образом

$L \ddot{I} + \frac{2I}{C} = 0$

Следовательно, $\ddot{I} + \omega_{0}^{2} I = 0 \omega_{0}^{2} = \frac{2}{LC}$,

Решение этого уравнения при $I = 0$ при $t = 0$
$I = I_{0} \sin \omega_{0} t$.

Интегрирование $q_{1} = A - \frac{I_{0} }{ \omega_{0} } \cos \omega_{0} t$
$q_{2} = B + \frac{I_{0} }{ \omega_{0} } \cos \omega_{0} t$

Наконец, подставляя в (1)

$\frac{A - B}{C} - \frac{2I_{0} }{ \omega_{0}C } \cos \omega_{0} t + LI_{0} \omega_{0}t = 0$

Таким образом $A = B = \frac{CV_{0} }{2}$ и

$\frac{CV_{0} }{2} + \frac{I_{0} }{ \omega_{0} } = 0$

Итак $q_{1} = \frac{CV_{0} }{2} (1 + \cos \omega_{0}t )$
$q_{2} = \frac{CV_{0} }{2} (1 - \cos \omega_{0}t )$