Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 785
2016-09-04 
Стеклянная пробирка цилиндрической формы имеет длину $L = 16 см$ и площадь сечения $S =1,0 см^{2}$. В неё насыпали немного песка для устойчивости и погрузили в воду. Масса пробирки с песком $m = 13 г$. Верхний край плавающей пробирки сместили вниз почти до поверхности воды и отпустили. Найдите уравнение последующего движения пробирки.
Решение:
На рисунке слева изображена пробирка в положении равновесия, а справа - спустя время $t$ от начала движения. В качестве искомого уравнения движения найдём функцию $x = x(t)$, описывающую изменение со временем координаты $x$ края пробирки, отсчитываемой от положения равновесия (рис.). Чтобы найти это уравнение, применим второй закон Ньютона:
$ma_{x} = m – F_{a}$, или $ma_{x} = m - \rho S (L – h +x)$, (1)
где $a_{x}$ - проекция ускорения на ось $x, \rho$ - плотность воды, $h$ - расстояние от верхнего края пробирки в состоянии равновесия до уровня воды (рис.), а $F_{a} = \rho S (L – h)$ - сила Архимеда. В положении равновесия $a_{x} = 0$ и из (1) получается
$m = \rho S (L-h)$. (2)
Уравнение (1) после подстановки (2) принимает вид:
$a_{x} = - \frac{ \rho S}{m} x$
Получилось динамическое уравнение гармонических колебаний с круговой частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{ \rho S}{m} } = 8,7 с^{-1}$.
Следовательно, координата $x$ меняется со временем по закону
$x = A \sin ( \omega t + \phi)$,
где $A$ - амплитуда колебаний, а $\phi$ - фаза при $t = 0$. Эти параметры находятся из начальных условий. В соответствии с условием задачи наибольшее отклонение пробирки $A = h$ было в начальный момент времени. Из (2) следует, что $h = L – (m/ \rho S) = 3,0 см$. Для начального момента времени $x = h \sin ( \omega \cdot 0 + \phi )$, и, следовательно, $\phi = \pi/2$. Таким образом, окончательно находим:
$x = h \cos ( \omega t) \approx 3,0 \cos (8,7 \cdot t)$,
где $x$ измеряется в сантиметрах, а $t$ - в секундах.
Стеклянная пробирка цилиндрической формы имеет длину $L = 16 см$ и площадь сечения $S =1,0 см^{2}$. В неё насыпали немного песка для устойчивости и погрузили в воду. Масса пробирки с песком $m = 13 г$. Верхний край плавающей пробирки сместили вниз почти до поверхности воды и отпустили. Найдите уравнение последующего движения пробирки.
Решение:
На рисунке слева изображена пробирка в положении равновесия, а справа - спустя время $t$ от начала движения. В качестве искомого уравнения движения найдём функцию $x = x(t)$, описывающую изменение со временем координаты $x$ края пробирки, отсчитываемой от положения равновесия (рис.). Чтобы найти это уравнение, применим второй закон Ньютона:
$ma_{x} = m – F_{a}$, или $ma_{x} = m - \rho S (L – h +x)$, (1)
где $a_{x}$ - проекция ускорения на ось $x, \rho$ - плотность воды, $h$ - расстояние от верхнего края пробирки в состоянии равновесия до уровня воды (рис.), а $F_{a} = \rho S (L – h)$ - сила Архимеда. В положении равновесия $a_{x} = 0$ и из (1) получается
$m = \rho S (L-h)$. (2)
Уравнение (1) после подстановки (2) принимает вид:
$a_{x} = - \frac{ \rho S}{m} x$
Получилось динамическое уравнение гармонических колебаний с круговой частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{ \rho S}{m} } = 8,7 с^{-1}$.
Следовательно, координата $x$ меняется со временем по закону
$x = A \sin ( \omega t + \phi)$,
где $A$ - амплитуда колебаний, а $\phi$ - фаза при $t = 0$. Эти параметры находятся из начальных условий. В соответствии с условием задачи наибольшее отклонение пробирки $A = h$ было в начальный момент времени. Из (2) следует, что $h = L – (m/ \rho S) = 3,0 см$. Для начального момента времени $x = h \sin ( \omega \cdot 0 + \phi )$, и, следовательно, $\phi = \pi/2$. Таким образом, окончательно находим:
$x = h \cos ( \omega t) \approx 3,0 \cos (8,7 \cdot t)$,
где $x$ измеряется в сантиметрах, а $t$ - в секундах.
