ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
В колебательном контуре (рис.) индуктивность катушки $L = 2,5 мГ$, а емкости конденсаторов $C = 2,0 мкФ$ и $C_{2} = 3,0 мкФ$. Конденсаторы зарядили до напряжения $U = 180 В$ и замкнули ключ К. Найти:
а) период собственных колебаний;
б) амплитудное значение тока через катушку.



Решение:



Уравнения L - C цепи

$L \frac{d}{dt} (I_{1} + I_{2} ) = \frac{C_{1}V - \int I_{1}dt }{C_{1} } = \frac{C_{2}V - \int I_{2}dt }{C_{2} }$

Дифференцируя $L(I_{1} + I_{2} ) = - \frac{1}{C_{1} }I_{1} = - \frac{1}{C_{2} } I_{2}$

Тогда $I_{1} = \frac{C_{1} }{C_{1} - C_{2} } I, I_{2} = \frac{C_{2} }{C_{1} + C_{2} } I$,
$I = I_{1} + I_{2}$

Итак $L ( C_{1} + C_{2})I + I = 0$

или $I = I_{0} \sin ( \omega_{0} t + \alpha)$

где $\omega_{0}^{2} = \frac{1}{L (C_{1} + C_{2} ) } $ (часть a)

(Следовательно, $T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0} } = 0,7 мс$)

При $t = 0, I = 0$ so $\alpha = 0$
$I = I_{0} \sin \omega_{0}t$

Пиковое значение тока $I_{0}$ и связано с напряжением $V$

$LI = V - \int Idt / (C_{1} + C_{2})$

или $+ L \omega_{0}I_{0} \cos \omega_{0} t = V - \frac{1}{C_{1} + C_{2} } \int_{0}^{t} I_{0} \sin \omega_{0}t dt$

(разность потенциалов на индуктивности $V$ при $t = 0$)

$= V + \frac{1}{C_{1} + C_{2} } \frac{I_{0} }{ \omega_{0} } ( \cos \omega_{0} t - 1)$

Следовательно $I_{0} = (C_{1} + C_{2} ) \omega_{0}V = V \sqrt{ \frac{C_{2} + C_{2} }{L} } = 8,05 А$.