Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7848
2018-05-31 
В колебательном контуре, состоящем из плоского конденсатора и катушки индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением, происходят колебания с энергией $W$. Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в $\eta$ раз. Какую работу совершили при этом?
Решение:
В колебательном контуре
$q = q_{m} \cos \omega t$ - заряд на конденсаторе, где $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$ и $C$ - мгновенная емкость конденсатора ($S$ - площадь пластин)
$C = \frac{ \epsilon_{0}S }{y}$
$y$ - расстояние между пластинами. Поскольку частота колебаний увеличивается на $\eta$, величина
$\omega^{2} = \frac{y}{ \epsilon_{0}SL }$
изменяется в $\eta^{2}$ раза, и, таким образом, происходит переход от $y_{0}$ изначально к $\eta^{2} y_{0}$ окончательно. Тогда разность потенциалов
$V = \frac{q_{m} }{C} \cos \omega t = \frac{yq_{m} }{ \epsilon_{0}S } \cos \omega t$
и, следовательно, электрическое поле между пластинами
$E = \frac{q_{m} }{ \epsilon_{0}S } \cos \omega t$
Таким образом, заряд на пластине, $q_{m} \cos \omega t$, сила на пластине
$F = \frac{q_{m}^{2} }{ \epsilon_{0} S } \cos^{2} \omega t$
Поскольку эта сила всегда положительна и пластины медленно растягиваются, мы можем использовать среднюю силу
$\bar{F} = \frac{q_{m}^{2} }{2 \epsilon_{0}S }$
и выполненная работа $A = \bar{F} ( \eta^{2}y_{0} - y_{0} ) = ( \eta^{2} - 1 ) \frac{q_{m}^{2}y_{0} }{2 \epsilon_{0}S }$
Но $\frac{q_{m}^{2}y_{0} }{2 \epsilon_{0}S } = \frac{q_{m}^{2} }{2C_{0} } = W$. Таким образом
$A = ( \eta^{2} - 1 )W$.
В колебательном контуре, состоящем из плоского конденсатора и катушки индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением, происходят колебания с энергией $W$. Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в $\eta$ раз. Какую работу совершили при этом?
Решение:
В колебательном контуре
$q = q_{m} \cos \omega t$ - заряд на конденсаторе, где $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$ и $C$ - мгновенная емкость конденсатора ($S$ - площадь пластин)
$C = \frac{ \epsilon_{0}S }{y}$
$y$ - расстояние между пластинами. Поскольку частота колебаний увеличивается на $\eta$, величина
$\omega^{2} = \frac{y}{ \epsilon_{0}SL }$
изменяется в $\eta^{2}$ раза, и, таким образом, происходит переход от $y_{0}$ изначально к $\eta^{2} y_{0}$ окончательно. Тогда разность потенциалов
$V = \frac{q_{m} }{C} \cos \omega t = \frac{yq_{m} }{ \epsilon_{0}S } \cos \omega t$
и, следовательно, электрическое поле между пластинами
$E = \frac{q_{m} }{ \epsilon_{0}S } \cos \omega t$
Таким образом, заряд на пластине, $q_{m} \cos \omega t$, сила на пластине
$F = \frac{q_{m}^{2} }{ \epsilon_{0} S } \cos^{2} \omega t$
Поскольку эта сила всегда положительна и пластины медленно растягиваются, мы можем использовать среднюю силу
$\bar{F} = \frac{q_{m}^{2} }{2 \epsilon_{0}S }$
и выполненная работа $A = \bar{F} ( \eta^{2}y_{0} - y_{0} ) = ( \eta^{2} - 1 ) \frac{q_{m}^{2}y_{0} }{2 \epsilon_{0}S }$
Но $\frac{q_{m}^{2}y_{0} }{2 \epsilon_{0}S } = \frac{q_{m}^{2} }{2C_{0} } = W$. Таким образом
$A = ( \eta^{2} - 1 )W$.
