ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Колебательный контур состоит из конденсатора емкости $C$, катушки индуктивности $L$ с пренебрежимо малым сопротивлением И ключа. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения $U_{m}$ и затем в момент $t = 0$ замкнули ключ. Найти:
а) ток в контуре как функцию времени $I(t)$;
б) э. д. с. самоиндукции в катушке в моменты, когда электрическая энергия конденсатора оказывается равной энергии тока в катушке.


Решение:


После того, как переключатель был выключен, можно записать

$- L \frac{dI}{dt} = \frac{q}{C}$

или $\frac{d^{2}q }{dt^{2} } + \omega_{0}^{2}q = 0 \Rightarrow q = CV_{m} \cos \omega_{0}t$

где мы использовали тот факт, что при выключении

$V = \frac{q}{C} = V_{m}, I = \frac{dq}{dt} = 0$ при $t = 0$.

Таким образом, (а) $I = \frac{dq}{dt} = - CV_{m} \omega_{0} \sin \omega_{0}t = - V_{m} \sqrt{ \frac{C}{L} } \sin \omega_{0}t$

(б) Электрическая энергия конденсатора равна $\frac{q^{2} }{2C} \alpha \cos^{2} \omega_{0} t$ и индуктивности

$\frac{1}{2} LI^{2} \alpha \sin^{2} \omega_{0} t$

Эти две энергии равны, когда

$\omega_{0}t = \frac{ \pi}{4}$

В этот момент ЭДС самоиндукции

$-L \frac{di}{dt} = V_{m} \cos \omega_{0} t = \frac{V_{m} }{ \sqrt{2} }$