Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7843
2018-05-31 
Вынужденная гармоническая сила $F$, частоту которой можно менять, не изменяя ее амплитуды, действует в вертикальном направлении на шарик, висящий на невесомой пружине. Коэффициент затухания в $\eta$ раз меньше собственной частоты $\omega_{0}$ колебаний шарика. На сколько процентов отличается средняя за период колебания мощность $\langle P \rangle$ силы $F$ при частоте, соответствующей резонансу смещения, от максимальной средней мощности $\langle P \rangle_{макс}$ этой силы?
Решение:
Учитывая $\beta = \omega_{0} / \eta$. Тогда из задачи 7843
$\langle P \rangle = \frac{F_{0}^{2} \omega_{0} }{ \eta m} \frac{1}{ \left ( \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega} - \omega \right )^{2} + 4 \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \eta^{2} } }$
При резонансе $\omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2} }$
$\langle P \rangle_{рез} = \frac{F_{0}^{2} \omega_{0} }{ \eta m } \frac{1}{ \frac{4 \beta^{4} }{ \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2} } + \frac{4 \omega_{0}^{2} }{ \eta^{2} } } = \frac{F_{0}^{2} \omega_{0} }{ \eta m } \frac{1}{ \frac{4 \omega^{4}/ \eta^{4} }{ \omega_{0}^{2} \left ( 1 - \frac{2}{ \eta^{2} } \right ) } + 4 \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \eta^{2} } } = \frac{F_{0}^{2} }{4 \eta m \omega_{0} } \frac{ \eta^{2} }{ \frac{1}{ \eta^{2} - 2 } + 1 } = \frac{F_{0}^{2} \eta }{2 m \omega_{0} } \frac{ \eta^{2} - 2 }{ \eta^{2} - 1 }$
Тогда $\langle P \rangle_{max} = \frac{F_{0}^{2} \eta }{ 4 m \omega_{0}}$.
Таким образом $\frac{ \langle P \rangle_{max} - \langle P \rangle_{res} }{ \langle P \rangle_{max} } = \frac{100}{ \eta^{2} - 1 }$ %
Вынужденная гармоническая сила $F$, частоту которой можно менять, не изменяя ее амплитуды, действует в вертикальном направлении на шарик, висящий на невесомой пружине. Коэффициент затухания в $\eta$ раз меньше собственной частоты $\omega_{0}$ колебаний шарика. На сколько процентов отличается средняя за период колебания мощность $\langle P \rangle$ силы $F$ при частоте, соответствующей резонансу смещения, от максимальной средней мощности $\langle P \rangle_{макс}$ этой силы?
Решение:
Учитывая $\beta = \omega_{0} / \eta$. Тогда из задачи 7843
$\langle P \rangle = \frac{F_{0}^{2} \omega_{0} }{ \eta m} \frac{1}{ \left ( \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega} - \omega \right )^{2} + 4 \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \eta^{2} } }$
При резонансе $\omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2} }$
$\langle P \rangle_{рез} = \frac{F_{0}^{2} \omega_{0} }{ \eta m } \frac{1}{ \frac{4 \beta^{4} }{ \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2} } + \frac{4 \omega_{0}^{2} }{ \eta^{2} } } = \frac{F_{0}^{2} \omega_{0} }{ \eta m } \frac{1}{ \frac{4 \omega^{4}/ \eta^{4} }{ \omega_{0}^{2} \left ( 1 - \frac{2}{ \eta^{2} } \right ) } + 4 \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \eta^{2} } } = \frac{F_{0}^{2} }{4 \eta m \omega_{0} } \frac{ \eta^{2} }{ \frac{1}{ \eta^{2} - 2 } + 1 } = \frac{F_{0}^{2} \eta }{2 m \omega_{0} } \frac{ \eta^{2} - 2 }{ \eta^{2} - 1 }$
Тогда $\langle P \rangle_{max} = \frac{F_{0}^{2} \eta }{ 4 m \omega_{0}}$.
Таким образом $\frac{ \langle P \rangle_{max} - \langle P \rangle_{res} }{ \langle P \rangle_{max} } = \frac{100}{ \eta^{2} - 1 }$ %
