ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Некоторая резонансная кривая соответствует механической колебательной системе с логарифмическим декрементом затухания $\lambda = 1,60$. Найти для этой кривой отношение максимальной амплитуды смещения к амплитуде смещения при очень малой частоте.


Решение:


В общем случае для амплитуды смещения

$a = \frac{F_{0} }{m} \frac{1}{ \sqrt{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} } } = \frac{F_{0} }{m} \frac{1}{ \sqrt{ ( \omega^{2} - \omega_{0}^{2} + 2 \beta^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} ( \omega_{0}^{2} - \beta^{2}) } }$

Таким образом $\eta = \frac{a_{res} }{a_{low} } = \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \sqrt{4 \beta^{2}( \omega_{0}^{2} - \beta^{2} ) } } = \frac{ \omega_{0}^{2} }{2 \beta \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } }$

Но $\frac{ \beta}{ \omega_{0}} = \frac{ \lambda / 2 \pi}{ \sqrt{1 + ( \lambda / 2 \pi)^{2} } }, \frac{ \lambda}{2 \pi} = \frac{ \beta}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } }$

Следовательно $\eta = \frac{ \omega_{0}^{2} }{2 \beta^{2} } \frac{ \lambda}{2 \pi} = \frac{1}{2} \frac{1 + \left ( \frac{ \lambda}{2 \pi} \right )^{2} }{ \frac{ \lambda}{2 \pi} } = 2,90$