ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
При частотах вынуждающей гармонической силы $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ амплитуда скорости частицы равна половине максимального значения. Найти:
а) частоту, соответствующую резонансу скорости;
б) коэффициент затухания $\beta$ и частоту затухающих колебаний $\omega$ частицы.


Решение:


$x = \frac{F_{0} }{m} \frac{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} ) \cos \omega t + 2 \beta \omega \sin \omega t }{ \sqrt{ ( \omega^{2} - \omega_{0}^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} } }$

Тогда $\dot{x} = \frac{F_{0} \omega }{m} \frac{2 \beta \omega \cos \omega t + ( \omega^{2} - \omega_{0}^{2} ) \sin \omega t }{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} }$

Таким образом, амплитуда скорости

$V_{0} = \frac{F_{0} \omega }{m \sqrt{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} } } = \frac{F_{0} }{ m \sqrt{ \left ( \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega} - \omega \right )^{2} + 2 \beta^{2} } }$

Она максимальна, когда $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} = \omega_{рез}^{2}$

тогда $V_{0рез} = \frac{F_{0} }{2m \beta}$.

Тогда половина максимума $\left ( \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega} - \omega \right )^{2} = 12 \beta^{2}$

или $\omega^{2} \pm 2 \sqrt{3} \beta \omega - \omega_{0}^{2} = 0$
$\omega = \mp \beta \sqrt{3} + \sqrt{ \omega_{0}^{2} + 3 \beta^{2} }$

где мы пренебрегли решением с знаком минус. Запишем

$\omega_{1} = \sqrt{ \omega_{0}^{2} + 3 \beta^{2} } + \beta \sqrt{3}, \omega_{2} = \sqrt{ \omega_{0}^{2} + 3 \beta^{2} } - \beta \sqrt{3}$

получаем
(a) $\omega_{рез} = \omega_{0} = \sqrt{ \omega_{1} \omega_{2}}$ (частота резонанса)
(б) $\beta = \frac{| \omega_{1} - \omega_{2} |}{2 \sqrt{3} }$ коэффициент затухания

$\sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } = \sqrt{ \omega_{1} \omega_{2} - \frac{( \omega_{1} - \omega_{2} )^{2} }{12} }$