Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7836
2018-05-31 
Шарик массы $m$, подвешенный к пружинке, удлиняет последнюю на величину $\Delta l$. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по гармоническому закону с амплитудой $F_{0}$, шарик совершает вынужденные колебания. Логарифмический декремент затухания равен $\lambda$. Пренебрегая массой пружинки, найти круговую частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда смещения шарика максимальна. Каково значение этой амплитуды?
Решение:
Для пружины $mg = \chi \Delta l$
где $\chi$ - коэффициент его деформации. Таким образом
$\omega_{0}^{2} = \frac{ \chi}{m} = \frac{g}{ \Delta l}$,
Уравнение движения шара
$\ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega_{0}^{2}x = \frac{F_{0} }{m} \cos \omega t$
Здесь $\lambda = \frac{2 \pi \beta}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } }$ или $\frac{ \beta}{ \omega} = \frac{ \lambda / 2 \pi}{ \sqrt{1 + ( \lambda / 2 \pi)^{2} } }$
Чтобы найти решение вышеприведенного уравнения, мы ищем решение вспомогательного уравнения
$\ddot{z} + 2 \beta \dot{z} + \omega_{0}^{2} z = \frac{F_{0} }{m} e^{ i \omega t}$
Ясно, что мы можем взять $Re z = x$. Тогда мы ищем конкретный интеграл для $z$ вида
$z = A e^{ i \omega t}$
Таким образом, подстановка дает $A$, и мы получаем
$z = \frac{(F_{0} / m) e^{i \omega t}}{ \omega_{0}^{2} - \omega^{2} + 2 i \beta \omega }$
беря реальную часть
$x = \frac{(F_{0} / m )( ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} ) \cos \omega t + 2 \beta \omega \sin \omega t ) }{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} } = \frac{F_{0} }{m} \frac{ \cos ( \omega t - \phi) }{ \sqrt{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 2 \beta^{2} \omega^{2} } }, \phi = tg^{-1} \frac{2 \beta \omega}{ \omega_{0}^{2} - \omega^{2} }$
Амплитуда этого колебания максимальна, когда знаменатель минимален. Это происходит, когда
$\omega^{4} - 2 \omega_{0}^{2} \omega^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} + \omega_{0}^{4} = ( \omega^{2} - \omega_{0}^{2} + 2 \beta^{2} ) + 2 \beta^{2} \omega_{0}^{2} - 4 \beta^{4}$ минимум, т. е. для $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2}$
Таким образом, $\omega_{рез}^{2} = \omega_{0}^{2} \left ( 1 - \frac{2 \beta^{2} }{ \omega_{0}^{2} } \right ) = \frac{g}{ \Delta l} \left ( 1 - \frac{2 \left ( \frac{ \lambda}{2 \pi} \right )^{2} }{1 + \left ( \frac{ \lambda}{2 \pi} \right )^{2} } \right ) = \frac{g}{2l} \frac{1 - \left ( \frac{ \lambda}{2 \pi} \right )^{2} }{ 1 + \left ( \frac{ \lambda}{2 \pi} \right )^{2} }$
и $a_{рез} = \frac{F_{0}/m }{ \sqrt{4 \beta^{2} \omega_{0}^{2} - 4 \beta^{4} } } = \frac{F_{0}/m }{ 2 \beta \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } } = \frac{F_{0}/m }{2 \beta^{2} } \frac{ \lambda}{2 \pi} = \frac{F_{0} }{2m \omega_{0}^{2} } \frac{1 + \left ( \frac{ \lambda}{2 \pi} \right )^{2} }{ \lambda / 2 \pi} = \frac{F_{0} \Delta I \lambda }{4 \pi mg} \left ( 1 + \frac{4 \pi^{2} }{ \lambda^{2} } \right )$
Шарик массы $m$, подвешенный к пружинке, удлиняет последнюю на величину $\Delta l$. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по гармоническому закону с амплитудой $F_{0}$, шарик совершает вынужденные колебания. Логарифмический декремент затухания равен $\lambda$. Пренебрегая массой пружинки, найти круговую частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда смещения шарика максимальна. Каково значение этой амплитуды?
Решение:
Для пружины $mg = \chi \Delta l$
где $\chi$ - коэффициент его деформации. Таким образом
$\omega_{0}^{2} = \frac{ \chi}{m} = \frac{g}{ \Delta l}$,
Уравнение движения шара
$\ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega_{0}^{2}x = \frac{F_{0} }{m} \cos \omega t$
Здесь $\lambda = \frac{2 \pi \beta}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } }$ или $\frac{ \beta}{ \omega} = \frac{ \lambda / 2 \pi}{ \sqrt{1 + ( \lambda / 2 \pi)^{2} } }$
Чтобы найти решение вышеприведенного уравнения, мы ищем решение вспомогательного уравнения
$\ddot{z} + 2 \beta \dot{z} + \omega_{0}^{2} z = \frac{F_{0} }{m} e^{ i \omega t}$
Ясно, что мы можем взять $Re z = x$. Тогда мы ищем конкретный интеграл для $z$ вида
$z = A e^{ i \omega t}$
Таким образом, подстановка дает $A$, и мы получаем
$z = \frac{(F_{0} / m) e^{i \omega t}}{ \omega_{0}^{2} - \omega^{2} + 2 i \beta \omega }$
беря реальную часть
$x = \frac{(F_{0} / m )( ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} ) \cos \omega t + 2 \beta \omega \sin \omega t ) }{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} } = \frac{F_{0} }{m} \frac{ \cos ( \omega t - \phi) }{ \sqrt{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 2 \beta^{2} \omega^{2} } }, \phi = tg^{-1} \frac{2 \beta \omega}{ \omega_{0}^{2} - \omega^{2} }$
Амплитуда этого колебания максимальна, когда знаменатель минимален. Это происходит, когда
$\omega^{4} - 2 \omega_{0}^{2} \omega^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} + \omega_{0}^{4} = ( \omega^{2} - \omega_{0}^{2} + 2 \beta^{2} ) + 2 \beta^{2} \omega_{0}^{2} - 4 \beta^{4}$ минимум, т. е. для $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} - 2 \beta^{2}$
Таким образом, $\omega_{рез}^{2} = \omega_{0}^{2} \left ( 1 - \frac{2 \beta^{2} }{ \omega_{0}^{2} } \right ) = \frac{g}{ \Delta l} \left ( 1 - \frac{2 \left ( \frac{ \lambda}{2 \pi} \right )^{2} }{1 + \left ( \frac{ \lambda}{2 \pi} \right )^{2} } \right ) = \frac{g}{2l} \frac{1 - \left ( \frac{ \lambda}{2 \pi} \right )^{2} }{ 1 + \left ( \frac{ \lambda}{2 \pi} \right )^{2} }$
и $a_{рез} = \frac{F_{0}/m }{ \sqrt{4 \beta^{2} \omega_{0}^{2} - 4 \beta^{4} } } = \frac{F_{0}/m }{ 2 \beta \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } } = \frac{F_{0}/m }{2 \beta^{2} } \frac{ \lambda}{2 \pi} = \frac{F_{0} }{2m \omega_{0}^{2} } \frac{1 + \left ( \frac{ \lambda}{2 \pi} \right )^{2} }{ \lambda / 2 \pi} = \frac{F_{0} \Delta I \lambda }{4 \pi mg} \left ( 1 + \frac{4 \pi^{2} }{ \lambda^{2} } \right )$
