ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Частица массы $m$ может совершать незатухающие гармонические колебания под действием упругой силы с коэффициентом $k$. Когда частица находилась в состоянии равновесия, к ней приложили постоянную силу $F$, которая действовала в течение $\tau$ секунд. Найти амплитуду колебаний частицы после окончания действия этой силы. Изобразить примерный график колебаний $x(t)$. Исследовать возможные случаи.


Решение:


Мы должны искать решения уравнения

$m \ddot{x} + kx = F, 0 < t_{1} < \tau$,
$m \ddot{x} + kx = 0, t > \tau$

при условии $x(0) = \dot{x} (0) = 0$, где $F$ постоянна.
Решение этого уравнения будем искать в виде

$x = \frac{F}{k} + A \cos ( \omega_{0}t + \alpha ), 0 \leq t \leq \tau$
$x = B \cos ( \omega_{0} ( t - \tau) + \beta ), t > \tau$

$A$ и $\alpha$ будут определяться из граничного условия при $t = 0$.

$0 = \frac{F}{k} + A \cos \alpha$
$0 = - \omega_{0}A \sin \alpha$

Таким образом, $\alpha = 0$ и $A = - \frac{F}{k}$ и $x = \frac{F}{k}(1 - \cos \omega_{0}t ) 0 \leq t < \tau$.

$B$ и $\beta$ будут определяться непрерывностью $x$ и $\dot{x}$ при $t = \tau$. Таким образом

$\frac{F}{k} (1 - \cos \omega_{0} \tau ) = B \cos \beta$ и $\omega_{0} \frac{F}{k} \sin \omega_{0} \tau = - \omega_{0} B \sin \beta$

Таким образом $B^{2} = \left ( \frac{F}{k} \right )^{2}(2 - 2 \cos \omega_{0} \tau )$

или $B = 2 \frac{F}{k} \left | \sin \frac{ \omega_{0} \tau }{2} \right |$