Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7833
2018-05-31 
На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $k = 0,10$ лежит брусок массы $m = 0,50 кг$, соединенный горизонтальной недеформированной пружинкой со стенкой. Жесткость пружинки $\chi = 2,45 Н/см$, а ее масса пренебрежимо мала. Брусок сместили так, что пружинка растянулась на $x_{0} = 3,0 см$, а затем отпустили. Найти:
а) период колебаний бруска;
б) число колебаний, которые совершит брусок до остановки.
Решение:
Коэффициент жесткости будем обозначать через $\chi$. Предположим, что пружина растянута на $x_{0}$. На брусок действует две горизонтальные силы (1), восстанавливающая сила $- \chi x$ и (2) сила трение $kmg$ противоположно движению. Если
$x_{0} > \frac{kmg}{ \chi } = \Delta$
брусок возвращается. (Если $x_{0} \leq \Delta$, брусок не будет двигаться). Уравнение движения бруска, когда оно движется влево, равно
$m \ddot{x} = - \chi x + kmg$
Это уравнение имеет решение
$x = \Delta + ( x_{0} - \Delta ) \cos \sqrt{ \frac{k}{m} } t$
где мы использовали $x = x_{0}, \dot{x} = 0$ при $t = 0$. Это решение действует только до тех пор, пока брусок не остановится. Это происходит при
$t_{1} = \frac{ \pi}{ \sqrt{ \frac{k}{m} } } $
и в это время $x = x_{1} = 2 \Delta - x_{0}$. Если $x_{0} > 2 \Delta$, то брусок будет двигаться вправо (если $\Delta < x_{0} < 2 \Delta$, стержень остановиться). Теперь уравнение для движения вправо становится
$m \ddot{x} = - \chi x - kmg$
(сила трения изменилась). Мы замечаем, что стержень будет двигаться вправо, только если
$\chi (x_{0} - 2 \Delta ) > kmg$, т. е. $x_{0} > 3 \Delta$
В этом случае решение
$x = - \Delta + (x_{0} - 3 \Delta) \cos \sqrt{ \frac{k}{m} } t$
Так как $x = 2 \Delta - x_{0}$ и $\dot{x} = 0$ при $t = t_{1} = \frac{ \pi}{ \sqrt{ \frac{k}{m} } }$.
Затем брусок остановился
$t = t_{2} = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \frac{k}{m} } }$.
и в этот момент $x = x_{2} = x_{0} - 4 \Delta$. Однако брусок остановится, если $x_{0} > 5 \Delta$. Таким образом,
(a) период колебаний одного полного колебания $= \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \frac{k}{m} } }$.
(б) Нет осцилляции, если $0 < x_{0} < \Delta$
Половина колебания, если $\Delta < x_{0} < 3 \Delta$
2 половины колебания, если $3 \Delta < x_{0} < 5 \Delta $ и т.д.
Можно сказать, что число полных колебаний равно половине целого числа $n$ где $n = \left [ \frac{x_{0} - \Delta }{2 \Delta} \right ]$
где $[x]$ = наименьшее неотрицательное целое число, большее x.
На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $k = 0,10$ лежит брусок массы $m = 0,50 кг$, соединенный горизонтальной недеформированной пружинкой со стенкой. Жесткость пружинки $\chi = 2,45 Н/см$, а ее масса пренебрежимо мала. Брусок сместили так, что пружинка растянулась на $x_{0} = 3,0 см$, а затем отпустили. Найти:
а) период колебаний бруска;
б) число колебаний, которые совершит брусок до остановки.
Решение:
Коэффициент жесткости будем обозначать через $\chi$. Предположим, что пружина растянута на $x_{0}$. На брусок действует две горизонтальные силы (1), восстанавливающая сила $- \chi x$ и (2) сила трение $kmg$ противоположно движению. Если
$x_{0} > \frac{kmg}{ \chi } = \Delta$
брусок возвращается. (Если $x_{0} \leq \Delta$, брусок не будет двигаться). Уравнение движения бруска, когда оно движется влево, равно
$m \ddot{x} = - \chi x + kmg$
Это уравнение имеет решение
$x = \Delta + ( x_{0} - \Delta ) \cos \sqrt{ \frac{k}{m} } t$
где мы использовали $x = x_{0}, \dot{x} = 0$ при $t = 0$. Это решение действует только до тех пор, пока брусок не остановится. Это происходит при
$t_{1} = \frac{ \pi}{ \sqrt{ \frac{k}{m} } } $
и в это время $x = x_{1} = 2 \Delta - x_{0}$. Если $x_{0} > 2 \Delta$, то брусок будет двигаться вправо (если $\Delta < x_{0} < 2 \Delta$, стержень остановиться). Теперь уравнение для движения вправо становится
$m \ddot{x} = - \chi x - kmg$
(сила трения изменилась). Мы замечаем, что стержень будет двигаться вправо, только если
$\chi (x_{0} - 2 \Delta ) > kmg$, т. е. $x_{0} > 3 \Delta$
В этом случае решение
$x = - \Delta + (x_{0} - 3 \Delta) \cos \sqrt{ \frac{k}{m} } t$
Так как $x = 2 \Delta - x_{0}$ и $\dot{x} = 0$ при $t = t_{1} = \frac{ \pi}{ \sqrt{ \frac{k}{m} } }$.
Затем брусок остановился
$t = t_{2} = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \frac{k}{m} } }$.
и в этот момент $x = x_{2} = x_{0} - 4 \Delta$. Однако брусок остановится, если $x_{0} > 5 \Delta$. Таким образом,
(a) период колебаний одного полного колебания $= \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \frac{k}{m} } }$.
(б) Нет осцилляции, если $0 < x_{0} < \Delta$
Половина колебания, если $\Delta < x_{0} < 3 \Delta$
2 половины колебания, если $3 \Delta < x_{0} < 5 \Delta $ и т.д.
Можно сказать, что число полных колебаний равно половине целого числа $n$ где $n = \left [ \frac{x_{0} - \Delta }{2 \Delta} \right ]$
где $[x]$ = наименьшее неотрицательное целое число, большее x.
