ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Диск А радиуса $R$, подвешенный на упругой нити между двумя неподвижными плоскостями (рис.), совершает крутильные колебания вокруг своей оси $OO^{ \prime}$. Момент инерции диска относительно этой оси $I$, зазор между диском и каждой из плоскостей $h$, причем $h \ll R$. Найти вязкость газа, окружающего диск А, если период колебаний диска $T$ и логарифмический декремент затухания $\lambda$.



Решение:


Из закона вязкости сила на единицу площади $= \eta \frac{dv}{dx}$

поэтому, когда диск выполняет крутильные колебания и резистивная пара на нем

$= \int_{0}^{R} \eta \cdot 2 \pi r \frac{r \phi}{h} rdr \cdot 2 = \frac{ \eta \pi R^{4} }{h} \dot{ \phi}$

(коэффициент 2 для двух сторон диска, см. рисунок)
где $\phi$ - кручение. Уравнение движения

$I \ddot{ \phi} + \frac{ \eta \pi R^{4} }{h} \dot{ \phi} + c \phi = 0$

Сравнивая с $\ddot{ \phi} + 2 \beta \dot{ \phi} + \omega_{0}^{2} \phi = 0$, получаем

$\beta = \eta \pi R^{4} /2hI$

Теперь логарифмический декремент $\lambda$ задается периодом времени $\lambda = \beta T, T$.

Таким образом, $\eta = 2 \lambda hI / \pi R^{4}T$