Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7828
2018-05-31 
Найти добротность математического маятника длины $l = 50 см$, если за промежуток времени $\tau = 5,2 мин$ его полная механическая энергия уменьшилась в $\eta = 4,0 \cdot 10^{4}$ раз.
Решение:
Для незатухающего осциллятора механическая энергия $E = \frac{1}{2} m \dot{x}^{2} + \frac{1}{2} m \omega_{0}^{2}x^{2}$. Для затухающего осциллятора.
$x = a_{0}e^{ - \beta t} \cos ( \omega t + \alpha), \omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} }$
и $E(t) = \frac{1}{2} m \dot{x}^{2} + \frac{1}{2} m \omega_{0}^{2} x^{2} = \frac{1}{2} ma_{0}^{2} e^{ - 2 \beta t} ( \beta^{2} \cos^{2} ( \omega t + \alpha) + 2 \beta \omega \cos ( \omega t + \alpha) \sin ( \omega t + \alpha) + \omega^{2} \sin^{2} ( \omega t + \alpha ) ) + \frac{1}{2} ma_{0}^{2} \omega_{0}^{2} e^{ - 2 \beta t} \cos^{2} ( \omega t + \alpha) = \frac{1}{2} ma_{0}^{2} \omega_{0}^{2} e^{ - 2 \beta t} + \frac{1}{2} ma_{0}^{2} \beta^{2} e^{ - \beta t} \cos ( 2 \omega t + 2 \alpha) + \frac{1}{2} ma_{0}^{2} \beta \omega e^{ - 2 \beta t} \sin ( 2 \omega t + 2 \alpha)$
Если $\beta \ll \omega$, то среднее из последних двух членов относительно времени $t$ будет обращаться в нуль и
$\langle E(t) \rangle = \frac{1}{2} ma_{0}^{2} \omega_{0}^{2} e^{ - 2 \beta t}$ - это соответствующая механическая энергия.
В момент времени $\tau$ она уменьшается в $\frac{1}{ \eta}$
$e^{ - 2 \beta \tau} = \frac{1}{ \eta}$ или $\tau = \frac{ ln \eta}{2 \beta}$.
$\beta = \frac{ln \eta}{2 \tau}$
и $\lambda = \frac{2 \pi \beta}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } } = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \left ( \frac{ \omega_{0} }{ \beta} \right )^{2} - 1 } } = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \frac{2g \tau^{2} }{l ln^{2} \eta} - 1 } } $ поскольку $\omega_{0}^{2} = \frac{g}{l}$.
и $Q = \frac{ \pi}{ \lambda} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{2g \tau^{2} }{l ln^{2} \eta} - 1 } \approx 130$.
Найти добротность математического маятника длины $l = 50 см$, если за промежуток времени $\tau = 5,2 мин$ его полная механическая энергия уменьшилась в $\eta = 4,0 \cdot 10^{4}$ раз.
Решение:
Для незатухающего осциллятора механическая энергия $E = \frac{1}{2} m \dot{x}^{2} + \frac{1}{2} m \omega_{0}^{2}x^{2}$. Для затухающего осциллятора.
$x = a_{0}e^{ - \beta t} \cos ( \omega t + \alpha), \omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} }$
и $E(t) = \frac{1}{2} m \dot{x}^{2} + \frac{1}{2} m \omega_{0}^{2} x^{2} = \frac{1}{2} ma_{0}^{2} e^{ - 2 \beta t} ( \beta^{2} \cos^{2} ( \omega t + \alpha) + 2 \beta \omega \cos ( \omega t + \alpha) \sin ( \omega t + \alpha) + \omega^{2} \sin^{2} ( \omega t + \alpha ) ) + \frac{1}{2} ma_{0}^{2} \omega_{0}^{2} e^{ - 2 \beta t} \cos^{2} ( \omega t + \alpha) = \frac{1}{2} ma_{0}^{2} \omega_{0}^{2} e^{ - 2 \beta t} + \frac{1}{2} ma_{0}^{2} \beta^{2} e^{ - \beta t} \cos ( 2 \omega t + 2 \alpha) + \frac{1}{2} ma_{0}^{2} \beta \omega e^{ - 2 \beta t} \sin ( 2 \omega t + 2 \alpha)$
Если $\beta \ll \omega$, то среднее из последних двух членов относительно времени $t$ будет обращаться в нуль и
$\langle E(t) \rangle = \frac{1}{2} ma_{0}^{2} \omega_{0}^{2} e^{ - 2 \beta t}$ - это соответствующая механическая энергия.
В момент времени $\tau$ она уменьшается в $\frac{1}{ \eta}$
$e^{ - 2 \beta \tau} = \frac{1}{ \eta}$ или $\tau = \frac{ ln \eta}{2 \beta}$.
$\beta = \frac{ln \eta}{2 \tau}$
и $\lambda = \frac{2 \pi \beta}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } } = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \left ( \frac{ \omega_{0} }{ \beta} \right )^{2} - 1 } } = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \frac{2g \tau^{2} }{l ln^{2} \eta} - 1 } } $ поскольку $\omega_{0}^{2} = \frac{g}{l}$.
и $Q = \frac{ \pi}{ \lambda} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{2g \tau^{2} }{l ln^{2} \eta} - 1 } \approx 130$.
