Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7827
2018-05-31 
Частицу сместили из положения равновесия на расстояние $l = 1,0 см$ и предоставили самой себе. Какой путь пройдет, колеблясь, эта частица до полной остановки, если логарифмический декремент затухания $\lambda = 0,020$?
Решение:
Из $x = a_{0}^{ - \beta t} \cos ( \omega t + \alpha)$, получаем
$(x)_{t = 0} = l = a_{0} \cos \alpha$
$0 = ( \dot{x} )_{t = 0} = - \beta a_{0} \cos \alpha - \omega a_{0} \sin \alpha$
Тогда $tg \alpha = - \frac{ \beta}{ \omega}$ или $\cos \alpha = \frac{ \omega}{ \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2} } }$
и $x = \frac{l \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2} } }{ \omega } e^{ - \beta t} \cos \left ( \omega t - tg^{ - 1} \frac{ \beta}{ \omega} \right )$
$x = 0$ $t= \frac{1}{ \omega} \left ( n \pi + \frac{ \pi}{2} + tg^{-1} \frac{ \beta}{ \omega} \right )$
Общее расстояние, пройденное на первом круге $l$
Чтобы получить максимальное смещение на втором круге, отметим, что
$\dot{x} = \left [ - \beta \cos \left ( \omega t - tg^{ - 1} \frac{ \beta}{ \omega} \right ) - \omega \sin \left ( \omega t - tg^{ - 1} \frac{ \beta }{ \omega} \right ) \right ]$
$x \frac{l \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2} } }{ \omega} e^{ - \beta t} = 0$
когда $\omega t = \pi, 2 \pi, 3 \pi, \cdots$
Таким образом, $\ddot{x}_{max} = - a_{0}e^{ - \pi \beta / \omega} \cos \alpha = - le^{ - \pi \beta / \omega}$ при $t = \pi / \omega$
так что расстояние, пройденное во втором круге $= 2 le^{ - \pi \beta / \omega}$
Общее пройденное расстояние $= l + 2le^{ - \pi \beta / \omega} + 2le^{ - 2 \pi \beta / \omega} + \cdots = l + \frac{ 2le^{ - \pi \beta / \omega} }{1 - e^{ - \beta \pi / \omega} } = l + \frac{2l}{ e^{ \beta \pi / \omega} - 1 }= l \frac{ e^{ \beta \pi / \omega} + 1 }{ e^{ \beta \pi / \omega} - 1 } = l \frac{1 + e^{ \lambda / 2} }{e^{ \lambda /2} - 1 }$
где $\lambda = \frac{2 \pi \beta}{ \omega}$ логарифмический декремент. Подстановка дает 2 метра.
Частицу сместили из положения равновесия на расстояние $l = 1,0 см$ и предоставили самой себе. Какой путь пройдет, колеблясь, эта частица до полной остановки, если логарифмический декремент затухания $\lambda = 0,020$?
Решение:
Из $x = a_{0}^{ - \beta t} \cos ( \omega t + \alpha)$, получаем
$(x)_{t = 0} = l = a_{0} \cos \alpha$
$0 = ( \dot{x} )_{t = 0} = - \beta a_{0} \cos \alpha - \omega a_{0} \sin \alpha$
Тогда $tg \alpha = - \frac{ \beta}{ \omega}$ или $\cos \alpha = \frac{ \omega}{ \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2} } }$
и $x = \frac{l \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2} } }{ \omega } e^{ - \beta t} \cos \left ( \omega t - tg^{ - 1} \frac{ \beta}{ \omega} \right )$
$x = 0$ $t= \frac{1}{ \omega} \left ( n \pi + \frac{ \pi}{2} + tg^{-1} \frac{ \beta}{ \omega} \right )$
Общее расстояние, пройденное на первом круге $l$
Чтобы получить максимальное смещение на втором круге, отметим, что
$\dot{x} = \left [ - \beta \cos \left ( \omega t - tg^{ - 1} \frac{ \beta}{ \omega} \right ) - \omega \sin \left ( \omega t - tg^{ - 1} \frac{ \beta }{ \omega} \right ) \right ]$
$x \frac{l \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2} } }{ \omega} e^{ - \beta t} = 0$
когда $\omega t = \pi, 2 \pi, 3 \pi, \cdots$
Таким образом, $\ddot{x}_{max} = - a_{0}e^{ - \pi \beta / \omega} \cos \alpha = - le^{ - \pi \beta / \omega}$ при $t = \pi / \omega$
так что расстояние, пройденное во втором круге $= 2 le^{ - \pi \beta / \omega}$
Общее пройденное расстояние $= l + 2le^{ - \pi \beta / \omega} + 2le^{ - 2 \pi \beta / \omega} + \cdots = l + \frac{ 2le^{ - \pi \beta / \omega} }{1 - e^{ - \beta \pi / \omega} } = l + \frac{2l}{ e^{ \beta \pi / \omega} - 1 }= l \frac{ e^{ \beta \pi / \omega} + 1 }{ e^{ \beta \pi / \omega} - 1 } = l \frac{1 + e^{ \lambda / 2} }{e^{ \lambda /2} - 1 }$
где $\lambda = \frac{2 \pi \beta}{ \omega}$ логарифмический декремент. Подстановка дает 2 метра.
