ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания $\lambda_{0} = 1,50$. Каким будет логарифмический декремент затухания, если сопротивление среды увеличить в $n = 2,00$ раза? Во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?


Решение:


По определению логарифмического декремента ($\lambda = \beta \frac{2 \pi}{ \omega}$) получаем исходный декремент $\lambda_{0}$

$\lambda_{0} = \beta \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } }$ и наконец $\lambda = \frac{2 \pi n \beta}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - n^{2} \beta^{} } }$

Тогда $\frac{ \beta}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } } = \frac{ \lambda_{0} }{2 \pi}$ или $\frac{ \beta}{ \omega_{0} } = \frac{ \lambda_{0} / 2 \pi }{ \sqrt{1 + \left ( \frac{ \lambda_{0} }{2 \pi} \right )^{2} } }$

Итак $\frac{ \lambda / 2 \pi }{ \sqrt{1 + \left ( \frac{ \lambda_{0} }{2 \pi} \right )^{2} } } = \frac{ n \lambda_{0} / 2 \pi }{ \sqrt{1 + \left ( \frac{ \lambda_{0} }{2 \pi} \right )^{2} } }$

Следовательно $\frac{ \lambda}{2 \pi} = \frac{n \lambda_{0} / 2 \pi }{ \sqrt{ 1- (n^{2} - 1 ) \left ( \frac{ \lambda_{0} }{2 \pi} \right )^{2} } }$

Для критического затухания $\omega_{0} = n_{c} \beta$

$\frac{1}{n_{c} } = \frac{ \beta}{ \omega_{0} } = \frac{ \lambda_{0} / 2 \pi }{ \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \lambda_{0} }{2 \pi} \right )^{2} } }$ или $n_{c} = \sqrt{1 + \left ( \frac{2 \pi}{ \lambda_{0} } \right )^{2} }$