Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7822
2018-05-31 
Точка совершает затухающие колебания с частотой $\omega$ и коэффициентом затухания $\beta$. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени $t$, если в момент $t = 0$:
а) амплитуда ее смещения равна $a_{0}$;
б) смещение точки $x(0) = 0$ и проекция ее скорости $v_{x}(0) = x_{0}$.
Решение:
Запишем $x = a_{0}e^{ - \beta t} \cos ( \omega t + \alpha) = Re A e^{ - \beta t + i \omega t }, A = a_{0}e^{i \alpha}$
$\dot{x} = Re A ( - \beta + i \omega )e^{ - \beta t + i \omega t}$
Амплитуда скорости в зависимости от времени определяется следующим образом. Положим $t = t_{0} + \tau$, тогда
$x = Re Ae^{ - \beta (t_{0} + \tau)} e^{ i \omega} (t_{0} + \tau) \approx Re Ae^{ - \beta t_{0}} e^{ i \omega t_{0} + i \omega \tau} \approx Re A e^{ - \beta t_{0} } e^{ i \omega t}$
при $\tau \ll \frac{1}{ \beta}$. Это означает, что амплитуда в момент времени $t_{0}$ равна $a_{0}e^{ - \beta t_{0} }$ и мы можем считать, что амплитуда в момент времени $t$ равна $a_{0}e^{ - \beta t }$. Аналогично для амплитуды скорости очевидно
(a) Амплитуда скорости в момент времени $t = a_{0} \sqrt{ \beta^{2} + \omega^{2}} e^{ - \beta t}$
Так как $A ( - \beta + i \omega ) = a_{0}e^{i \alpha} (- \beta + i \omega) = a-{0} \sqrt{ \beta^{2} + \omega^{2} } e^{i \gamma}$
где $\gamma$ - некоторая постоянная
(б) $x(0) = 0 \Rightarrow Re A = 0$ или $A = \pm ia_{0}$, где $a_{0}$ вещественное и положительное.
Также $v_{x} (0) = \dot{x}_{0} = Re \pm i a_{0} ( - \beta + i \omega) = \mp \omega a_{0}$
Таким образом, $a_{0} = \frac{| \dot{x}_{0} |}{ \omega}$ и принимает знак (+), если $x_{0}$ отрицательный (положительный). Наконец, амплитуда скорости получается как
$ \frac{| \dot{x}_{0} |}{ \omega} \sqrt{ \beta^{2} + \omega^{2} } e^{ - \beta t}$.
Точка совершает затухающие колебания с частотой $\omega$ и коэффициентом затухания $\beta$. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени $t$, если в момент $t = 0$:
а) амплитуда ее смещения равна $a_{0}$;
б) смещение точки $x(0) = 0$ и проекция ее скорости $v_{x}(0) = x_{0}$.
Решение:
Запишем $x = a_{0}e^{ - \beta t} \cos ( \omega t + \alpha) = Re A e^{ - \beta t + i \omega t }, A = a_{0}e^{i \alpha}$
$\dot{x} = Re A ( - \beta + i \omega )e^{ - \beta t + i \omega t}$
Амплитуда скорости в зависимости от времени определяется следующим образом. Положим $t = t_{0} + \tau$, тогда
$x = Re Ae^{ - \beta (t_{0} + \tau)} e^{ i \omega} (t_{0} + \tau) \approx Re Ae^{ - \beta t_{0}} e^{ i \omega t_{0} + i \omega \tau} \approx Re A e^{ - \beta t_{0} } e^{ i \omega t}$
при $\tau \ll \frac{1}{ \beta}$. Это означает, что амплитуда в момент времени $t_{0}$ равна $a_{0}e^{ - \beta t_{0} }$ и мы можем считать, что амплитуда в момент времени $t$ равна $a_{0}e^{ - \beta t }$. Аналогично для амплитуды скорости очевидно
(a) Амплитуда скорости в момент времени $t = a_{0} \sqrt{ \beta^{2} + \omega^{2}} e^{ - \beta t}$
Так как $A ( - \beta + i \omega ) = a_{0}e^{i \alpha} (- \beta + i \omega) = a-{0} \sqrt{ \beta^{2} + \omega^{2} } e^{i \gamma}$
где $\gamma$ - некоторая постоянная
(б) $x(0) = 0 \Rightarrow Re A = 0$ или $A = \pm ia_{0}$, где $a_{0}$ вещественное и положительное.
Также $v_{x} (0) = \dot{x}_{0} = Re \pm i a_{0} ( - \beta + i \omega) = \mp \omega a_{0}$
Таким образом, $a_{0} = \frac{| \dot{x}_{0} |}{ \omega}$ и принимает знак (+), если $x_{0}$ отрицательный (положительный). Наконец, амплитуда скорости получается как
$ \frac{| \dot{x}_{0} |}{ \omega} \sqrt{ \beta^{2} + \omega^{2} } e^{ - \beta t}$.
