Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 782
2016-09-04 
Одним из важных и обширных приложений классической механики является небесная механика, описывающая движение космических объектов. В данной задаче речь идёт о движении двух планет Солнечной системы — Земли и Марса. Период обращения Земли вокруг Солнца равен $T_{E} = 365$ суток, а марсианский год составляет $T_{M} = kT_{E}$, где $k = 1,88$. В отдельные моменты времени планеты оказываются в положении, которое называют противостоянием. При противостоянии Марс виден с Земли в направлении, противоположном Солнцу. При этом он совершает так называемое «попятное движение», то есть вблизи точек противостояния меняет на противоположное направление своего движения относительно звёзд.
.
1. На рисунке показано положение Земли $E$, Марса $M$ и Солнца $S$ в противостоянии. Предполагая, что движение планет происходит по концентрическим окружностям вокруг Солнца, определите радиус $R_{M}$ орбиты Марса, а также промежуток времени $\tau$ между двумя последовательными противостояниями, полагая известным радиус земной орбиты $R_{E} = 1,50 \cdot 10^{11} м$.
2. Считая, что планеты движутся по часовой стрелке (рис.), найдите, на какой угол $\phi$ повернётся линия противостояния за время $\tau$.
3. Наблюдения показывают, что промежутки времени между последовательными противостояниями не одинаковы. Указанные промежутки плавно изменяются от значения $\tau{min} = 764$ суток до $\tau_{max} = 811$ суток. Можно предположить, что это обусловлено отличием орбиты Марса от окружности. Считая, что движение Марса происходит по эллипсу, покажите, что промежуток времени между последовательными противостояниями вблизи перигелия (ближайшей к Солнцу точки орбиты) наибольший, а вблизи афелия (наиболее удалённой от Солнца точки орбиты) - наименьший. Найдите минимальное $R_{min}$ и максимальное $R_{max}$ удаление Марса от Солнца.
Решение:
рис.1
рис.2
Для нахождения радиуса орбиты Марса применим к этой планете второй закон Ньютона, учтя лишь её притяжение к Солнцу:
$M_{M} \omega_{M}^{2} R_{M} = G \frac{M_{S}M_{M}}{R_{M}^{2}}$, (1)
где $M_{M}$ - масса Марса, $M_{S}$ - масса Солнца, $G$ - гравитационная постоянная. Аналогичное уравнение запишем для Земли:
$M_{E} \omega_{E}^{2}R_{E} = G \frac{M_{S}M_{E}}{R_{E}^{2}}$. (2)
Разделив уравнение (2) на уравнение (1), получим:
$\frac{ \omega_{E}}{ \omega_{M}} = \frac{T_{M}}{T_{E}} = \left ( \frac{R_{M}}{R_{E}} \right )^{3/2} = k$. (3)
Отсюда находим искомый радиус орбиты Марса:
$R_{M} = R_{E}k^{2/3} = 1,52 R_{E} = 2,28 \cdot 10^{11} м$.
Равенство (3) отражает, так называемый, третий закон Кеплера. В более общем случае он связывает периоды обращения планет с большими полуосями а их эллиптических орбит:
$\frac{T_{M}}{T_{E}} = \left ( \frac{a_{M}}{a_{E}} \right )^{3/2}$. (4)
В положении противостояния Земля, Марс и Солнце лежат на одной прямой (рис. 1). Если радиус-векторы Земли и Марса вращаются с разными угловыми скоростями $\omega_{M}$ и $\omega_{E}$, то очередное противостояние наступит через промежуток времени $\tau$, в течение которого разность углов поворота окажется равной $2 \pi$:
$\omega_{E} \tau - \omega_{M} \tau = 2 \pi$.
Отсюда находим
$\tau = \frac{T_{E}k}{k-1} \approx 780 суток$.
Чтобы найти угловое смещение $\phi$ линии противостояния за промежуток времени $tau$, следует принять во внимание, что за это время радиус-вектор Марса повернётся на угол, превышающий $2 \pi$ на искомую величину $\phi$:
$\phi= \omega_{M} \tau – 2 pi = 2 \pi \frac{2-k}{k-1} \approx 49^{ \circ}$
Для выполнения заданий пункта 3 рассмотрим траекторию Марса в виде эллипса, изображённого на рисунке 2. Лучи $M_{1}S$ и $M_{2}S$, ограничивающие угол $\phi$ - линии последовательных противостояний вблизи точки орбиты Марса, удалённой от Солнца приблизительно на расстояние $R$. Вероятно, угол $\phi$ зависит от того, в каком месте эллиптической орбиты окажутся лини последовательных противостояний. Тогда и время между этими противостояниями должно определяться их положениями на орбите. Для проверки этого предположения следует вычислить промежуток времени $\tau$ между противостояниями как функцию расстояния $R$ между Марсом и Солнцем.
За время $\tau$ Марс совершает один оборот и дополнительно проходит дугу $M_{1}M_{2}$, а Земля - два оборота и дугу $E_{1}E_{2}$. Поэтому
$\tau = T_{M} +t_{M} = 2T_{E} + t_{E}$, (5)
где $t_{M}$ — время движения Марса по дуге $M_{1}M_{2}$, а $t_{E}$ - время движения Земли по дуге $E_{1}E_{1}$.
Для Земли
$t_{E} = \frac{ \phi}{ \omega_{E}} = \frac{ \phi}{ 2 \pi} T_{E}$, (6)
где $\phi$ - угловое перемещение линии противостояния. Время $t_{M}$ найдём, воспользовавшись вторым законом Кеплера, который говорит о том, что секторная скорость движения планеты по эллиптической орбите в любой момент одинакова. Площадь сектора $SM_{1}M_{2}$, ограниченного углом $\phi$ и траекторией Марса, равна $\phi R^{2}/2$. Считая эллиптичность орбиты Марса малой, можно приближённо оценить её площадь как $\pi \left ( \frac{R_{max} + R_{min}}{2} \right )^{2}$. Таким образом, для времени $t_{M}$ движения Марса по дуге $M_{1}M_{2}$ находим следующее выражение
$t_{M} = T_{M} \frac{ \phi R^{2}/2}{ \pi \left ( \frac{R_{max} + R_{min}}{2} \right )^{2}} = T_{M} \frac{2 \phi}{ \pi} \frac{R^{2}}{(R_{max} + R_{min})^{2}} $. (7)
Из (6) и (7) получаем:
$\frac{t_{M}}{t_{E}} = \frac{T_{M}}{T_{E}} \left ( \frac{2R}{R_{max} + R_{min}} \right )^{2}$.
Подставим это соотношение в (5):
$\tau = T_{M} + t_{E} \frac{T_{M}}{T_{E}} \left ( \frac{2R}{R_{max} + R_{min}} \right )^{2} = 2T_{E} + t_{E}$.
Отсюда найдём вначале
$t_{E} = \frac{2T_{E} – T_{M}}{ \frac{T_{M}}{T_{E}} \left ( \frac{2R}{R_{max} + R_{min}} \right ) - 1} , \tau = 2T_{E} + \frac{2T_{E} – T_{M}}{ \frac{T_{M}}{T_{E}} \left ( \frac{2R}{R_{max} + R_{min}} \right )^{2} -1 }$. (8)
Величина $2T_{E} - T_{M} = 2T_{E} – kT_{E} = T_{E}(2 - k) > 0$. Кроме того, поскольку $R$ изменяется в пределах от $R_{min}$ до $R_{max}$, то из (8) следует, что наименьшему $R = R_{min}$ соответствует наибольшее значение $tau = \tau_{max}$, а наибольшему $R = R_{max}$ - наименьшее $\tau = \tau_{min}$. Воспользуемся упомянутым выше третьим законом Кеплера для системы Марс-Земля
$\frac{T_{M}}{T_{E}} = \left ( \frac{R_{max} + R_{min}}{2R_{E}} \right )^{3/2}$
Подставляя найденное соотношение в (8), найдём
$\tau = 2T_{E} + \frac{2T_{E} – T_{M}}{k^{-1/3} \left ( \frac{R}{R_{E}} \right )^{2} - 1}$.
Отсюда, подставляя численные значения, получим:
$R_{min} = k^{1/6} R_{E} \sqrt{\frac{ \tau_{max} -T_{M}}{ \tau_{max} -2T_{E}}} \approx 1,38 R_{E} \approx 2,07 \cdot 10^{11} м$;
$R_{max} = k^{1/6} R_{E} \sqrt{\frac{ \tau_{min} -T_{M}}{ \tau_{min} -2T_{E}}} \approx 1,68 R_{E} \approx 2,52 \cdot 10^{11} м$;
Величина
$a = \frac{1}{2} (R_{min} + R_{max}) = 1,53 R_{E}$
представляет собой большую полуось эллиптической орбиты Марса, связанную с периодом $T_{M}$ третьим законом Кеплера (4). Сравнение полученных результатов и реальных значений $R_{min} = 1,38R_{E} , R_{max} = 1,66R_{E} , a = 1,52R_{E}$ показывает, что принятые в решении задачи приближения неплохо описывают исследуемое здесь явление не только качественно, но и количественно.
Решение данной задачи иллюстрирует типичную для физики ситуацию, когда нужно найти величины, не поддающиеся непосредственным измерениям. В рассматриваемом примере размер орбиты Марса «определяется часами».
Одним из важных и обширных приложений классической механики является небесная механика, описывающая движение космических объектов. В данной задаче речь идёт о движении двух планет Солнечной системы — Земли и Марса. Период обращения Земли вокруг Солнца равен $T_{E} = 365$ суток, а марсианский год составляет $T_{M} = kT_{E}$, где $k = 1,88$. В отдельные моменты времени планеты оказываются в положении, которое называют противостоянием. При противостоянии Марс виден с Земли в направлении, противоположном Солнцу. При этом он совершает так называемое «попятное движение», то есть вблизи точек противостояния меняет на противоположное направление своего движения относительно звёзд.
.
1. На рисунке показано положение Земли $E$, Марса $M$ и Солнца $S$ в противостоянии. Предполагая, что движение планет происходит по концентрическим окружностям вокруг Солнца, определите радиус $R_{M}$ орбиты Марса, а также промежуток времени $\tau$ между двумя последовательными противостояниями, полагая известным радиус земной орбиты $R_{E} = 1,50 \cdot 10^{11} м$.
2. Считая, что планеты движутся по часовой стрелке (рис.), найдите, на какой угол $\phi$ повернётся линия противостояния за время $\tau$.
3. Наблюдения показывают, что промежутки времени между последовательными противостояниями не одинаковы. Указанные промежутки плавно изменяются от значения $\tau{min} = 764$ суток до $\tau_{max} = 811$ суток. Можно предположить, что это обусловлено отличием орбиты Марса от окружности. Считая, что движение Марса происходит по эллипсу, покажите, что промежуток времени между последовательными противостояниями вблизи перигелия (ближайшей к Солнцу точки орбиты) наибольший, а вблизи афелия (наиболее удалённой от Солнца точки орбиты) - наименьший. Найдите минимальное $R_{min}$ и максимальное $R_{max}$ удаление Марса от Солнца.
Решение:
рис.1
рис.2
Для нахождения радиуса орбиты Марса применим к этой планете второй закон Ньютона, учтя лишь её притяжение к Солнцу:
$M_{M} \omega_{M}^{2} R_{M} = G \frac{M_{S}M_{M}}{R_{M}^{2}}$, (1)
где $M_{M}$ - масса Марса, $M_{S}$ - масса Солнца, $G$ - гравитационная постоянная. Аналогичное уравнение запишем для Земли:
$M_{E} \omega_{E}^{2}R_{E} = G \frac{M_{S}M_{E}}{R_{E}^{2}}$. (2)
Разделив уравнение (2) на уравнение (1), получим:
$\frac{ \omega_{E}}{ \omega_{M}} = \frac{T_{M}}{T_{E}} = \left ( \frac{R_{M}}{R_{E}} \right )^{3/2} = k$. (3)
Отсюда находим искомый радиус орбиты Марса:
$R_{M} = R_{E}k^{2/3} = 1,52 R_{E} = 2,28 \cdot 10^{11} м$.
Равенство (3) отражает, так называемый, третий закон Кеплера. В более общем случае он связывает периоды обращения планет с большими полуосями а их эллиптических орбит:
$\frac{T_{M}}{T_{E}} = \left ( \frac{a_{M}}{a_{E}} \right )^{3/2}$. (4)
В положении противостояния Земля, Марс и Солнце лежат на одной прямой (рис. 1). Если радиус-векторы Земли и Марса вращаются с разными угловыми скоростями $\omega_{M}$ и $\omega_{E}$, то очередное противостояние наступит через промежуток времени $\tau$, в течение которого разность углов поворота окажется равной $2 \pi$:
$\omega_{E} \tau - \omega_{M} \tau = 2 \pi$.
Отсюда находим
$\tau = \frac{T_{E}k}{k-1} \approx 780 суток$.
Чтобы найти угловое смещение $\phi$ линии противостояния за промежуток времени $tau$, следует принять во внимание, что за это время радиус-вектор Марса повернётся на угол, превышающий $2 \pi$ на искомую величину $\phi$:
$\phi= \omega_{M} \tau – 2 pi = 2 \pi \frac{2-k}{k-1} \approx 49^{ \circ}$
Для выполнения заданий пункта 3 рассмотрим траекторию Марса в виде эллипса, изображённого на рисунке 2. Лучи $M_{1}S$ и $M_{2}S$, ограничивающие угол $\phi$ - линии последовательных противостояний вблизи точки орбиты Марса, удалённой от Солнца приблизительно на расстояние $R$. Вероятно, угол $\phi$ зависит от того, в каком месте эллиптической орбиты окажутся лини последовательных противостояний. Тогда и время между этими противостояниями должно определяться их положениями на орбите. Для проверки этого предположения следует вычислить промежуток времени $\tau$ между противостояниями как функцию расстояния $R$ между Марсом и Солнцем.
За время $\tau$ Марс совершает один оборот и дополнительно проходит дугу $M_{1}M_{2}$, а Земля - два оборота и дугу $E_{1}E_{2}$. Поэтому
$\tau = T_{M} +t_{M} = 2T_{E} + t_{E}$, (5)
где $t_{M}$ — время движения Марса по дуге $M_{1}M_{2}$, а $t_{E}$ - время движения Земли по дуге $E_{1}E_{1}$.
Для Земли
$t_{E} = \frac{ \phi}{ \omega_{E}} = \frac{ \phi}{ 2 \pi} T_{E}$, (6)
где $\phi$ - угловое перемещение линии противостояния. Время $t_{M}$ найдём, воспользовавшись вторым законом Кеплера, который говорит о том, что секторная скорость движения планеты по эллиптической орбите в любой момент одинакова. Площадь сектора $SM_{1}M_{2}$, ограниченного углом $\phi$ и траекторией Марса, равна $\phi R^{2}/2$. Считая эллиптичность орбиты Марса малой, можно приближённо оценить её площадь как $\pi \left ( \frac{R_{max} + R_{min}}{2} \right )^{2}$. Таким образом, для времени $t_{M}$ движения Марса по дуге $M_{1}M_{2}$ находим следующее выражение
$t_{M} = T_{M} \frac{ \phi R^{2}/2}{ \pi \left ( \frac{R_{max} + R_{min}}{2} \right )^{2}} = T_{M} \frac{2 \phi}{ \pi} \frac{R^{2}}{(R_{max} + R_{min})^{2}} $. (7)
Из (6) и (7) получаем:
$\frac{t_{M}}{t_{E}} = \frac{T_{M}}{T_{E}} \left ( \frac{2R}{R_{max} + R_{min}} \right )^{2}$.
Подставим это соотношение в (5):
$\tau = T_{M} + t_{E} \frac{T_{M}}{T_{E}} \left ( \frac{2R}{R_{max} + R_{min}} \right )^{2} = 2T_{E} + t_{E}$.
Отсюда найдём вначале
$t_{E} = \frac{2T_{E} – T_{M}}{ \frac{T_{M}}{T_{E}} \left ( \frac{2R}{R_{max} + R_{min}} \right ) - 1} , \tau = 2T_{E} + \frac{2T_{E} – T_{M}}{ \frac{T_{M}}{T_{E}} \left ( \frac{2R}{R_{max} + R_{min}} \right )^{2} -1 }$. (8)
Величина $2T_{E} - T_{M} = 2T_{E} – kT_{E} = T_{E}(2 - k) > 0$. Кроме того, поскольку $R$ изменяется в пределах от $R_{min}$ до $R_{max}$, то из (8) следует, что наименьшему $R = R_{min}$ соответствует наибольшее значение $tau = \tau_{max}$, а наибольшему $R = R_{max}$ - наименьшее $\tau = \tau_{min}$. Воспользуемся упомянутым выше третьим законом Кеплера для системы Марс-Земля
$\frac{T_{M}}{T_{E}} = \left ( \frac{R_{max} + R_{min}}{2R_{E}} \right )^{3/2}$
Подставляя найденное соотношение в (8), найдём
$\tau = 2T_{E} + \frac{2T_{E} – T_{M}}{k^{-1/3} \left ( \frac{R}{R_{E}} \right )^{2} - 1}$.
Отсюда, подставляя численные значения, получим:
$R_{min} = k^{1/6} R_{E} \sqrt{\frac{ \tau_{max} -T_{M}}{ \tau_{max} -2T_{E}}} \approx 1,38 R_{E} \approx 2,07 \cdot 10^{11} м$;
$R_{max} = k^{1/6} R_{E} \sqrt{\frac{ \tau_{min} -T_{M}}{ \tau_{min} -2T_{E}}} \approx 1,68 R_{E} \approx 2,52 \cdot 10^{11} м$;
Величина
$a = \frac{1}{2} (R_{min} + R_{max}) = 1,53 R_{E}$
представляет собой большую полуось эллиптической орбиты Марса, связанную с периодом $T_{M}$ третьим законом Кеплера (4). Сравнение полученных результатов и реальных значений $R_{min} = 1,38R_{E} , R_{max} = 1,66R_{E} , a = 1,52R_{E}$ показывает, что принятые в решении задачи приближения неплохо описывают исследуемое здесь явление не только качественно, но и количественно.
Решение данной задачи иллюстрирует типичную для физики ситуацию, когда нужно найти величины, не поддающиеся непосредственным измерениям. В рассматриваемом примере размер орбиты Марса «определяется часами».
