ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Тело совершает крутильные колебания по закону $\phi = \phi_{0} e^{ - \beta t} \cos \omega t$. Найти:
а) угловую скорость $\dot{ \phi}$ и угловое ускорение $\ddot{ \phi}$ тела в момент $t = 0$;
б) моменты времени, когда угловая скорость становится максимальной.


Решение:


Учитывая $\phi = \phi_{0} e^{ - \beta t} \cos \omega t$

Имеем $\dot{ \phi} = - \beta \phi - \omega \phi_{0} e^{ - \beta t} \sin \omega t$
$\ddot{ \phi} = - \beta \dot{ \phi} + \beta \omega \phi_{0} e^{ - \beta t} \sin \omega t - \omega^{2} \phi_{0} e^{ - \beta t} \cos \omega t = \beta^{2} \phi + 2 \beta \omega \phi_{0} e^{ - \beta t} \sin \omega t - \omega^{2} \phi$

(a) $( \dot{ \phi} )_{0} = - \beta \phi_{0}, ( \ddot{ \phi} )_{0} = ( \beta^{2} - \omega^{2} ) \phi_{0}$
(б) $\dot{x} = - \phi_{0} e^{ - \beta t} ( \beta \cos \omega t + \omega \sin \omega t)$ становится максимальным (или минимальным), когда

$\ddot{ \phi} = \phi_{0} ( \beta^{2} - \omega^{2} ) e^{ - \beta t} \cos \omega t + 2 \beta \omega \phi_{0} e^{ - \beta t} \sin \omega t = 0$
или $tg \omega t = \frac{ \omega^{2} - \beta^{2} }{2 \beta \omega}$

Таким образом $t_{n} = \frac{1}{ \omega} \left ( tg^{-1} \frac{ \omega^{2} - \beta^{2} }{2 \beta \omega} + n \pi \right ), n = 0,1,2, \cdots$