ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Контур (рис.) образован двумя параллельными проводниками, замыкающим их соленоидом с индуктивностью $L$ и проводящим стержнем массы $m$, который может свободно (без трения) скользить по проводникам. Проводники находятся в горизонтальной плоскости в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $B$. Расстояние между проводниками $l$. В момент $t = 0$ стержню сообщили вправо начальную скорость $v_{0}$. Найти закон его движения $x(t)$, если сопротивление контура пренебрежимо мало.



Решение:


В цепи в определенный момент времени $(t)$ из закона электромагнитной индукции Фарадея:

$L \frac{di}{dt} + Bl \frac{dx}{dt}$ или $Ldi = Bl dx$

Так как $t = 0, x= 0$, то $Li = Blx$ или $i = \frac{Bl}{L}x$ (1)

Для стержня из второго закона Ньютона $F_{x} = m w_{x}$

$- ilB = m \ddot{x}$

Используя уравнение (1), получаем: $\ddot{x} = - \left ( \frac{l^{2}B^{2} }{mL} \right )x = - \omega_{0}^{2} x$ (2)
где $\omega_{0} = \frac{lB}{ \sqrt{mL} }$

Решение указанного дифференциального уравнения имеет вид

$x = a \sin ( \omega_{0}t + \alpha )$

Из начального условия $t = 0, x = 0$, где $\alpha =0$

Следовательно, $x = a \sin \omega_{0}t$ (3)

Дифференцируя по времени, $\dot{x} = a \omega_{0} \cos \omega_{0}t$

Но из начального условия задачи при $t = 0, \dot{x} = v_{0}$

Таким образом, $v_{0} = a \omega_{0}$ или $a = v_{0} / \omega_{0}$ (4)

Подставляя значение $a$ из уравнения (4) в (3), мы получаем

$x = \frac{v_{0} }{ \omega_{0} } \sin \omega_{0}t$ ( где $\omega_{0} = \frac{lB}{ \sqrt{mL} }$ )