ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
В закрытом с обоих концов цилиндре, заполненном идеальным газом, находится поршень массы $m$ и площадью $S$ (рис.). В состоянии равновесия поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом $V_{0}$. Давление газа $p_{0}$. Поршень немного сместили из положения равновесия и отпустили. Найти частоту его колебаний, считая процессы в газе адиабатическими, а трение ничтожно малым.



Решение:



Пусть мы сместили поршень на небольшое расстояние $x$, вправо, тогда $F_{x} = mw_{x}$

или, $(p_{2} - p_{1} )S = - m \ddot{x}$ (1)

Но процесс адиабатичен, поэтому из $PV^{ \gamma} = const$

$p_{2} = \frac{p_{0}V_{0}^{ \gamma} }{(V_{0} - Sx )^{ \gamma} }$ и $p_{1} = \frac{p_{0}V_{0}^{ \gamma} }{(V_{0} + Sx )^{ \gamma} }$,

Так как новые объемы левой и правой частей теперь $(V_{0} + Sx)$ и $(V_{0} - Sx)$ соответственно. Таким образом, уравнение (1) становится.

$\frac{p_{0}V_{0}^{ \gamma}S }{m} \left ( \frac{1}{ (V_{0} - Sx )^{ \gamma} } - \frac{1}{(V_{0} - Sx )^{ \gamma} } \right ) = - \ddot{x}$

или, $\frac{p_{0}V_{0}^{ \gamma}S }{m} \left ( \frac{ (V_{0} + Sx )^{ \gamma} - (V_{0} - Sx )^{ \gamma} }{ (V_{0}^{2} - S^{2}x^{2} )^{ \gamma} } \right ) = - \ddot{x}$

или, $\frac{p_{0}V_{0}^{ \gamma}S }{m} \left ( \frac{ \left ( 1 + \frac{ \gamma Sx}{V_{0} } \right ) - \left ( 1 - \frac{ \gamma Sx}{V_{0} } \right ) }{ V_{0}^{ \gamma} \left ( 1 - \frac{ \gamma S^{2}x^{2} }{V_{0}^{2} } \right ) } \right ) = - \ddot{x}$

Пренебрегая членом $\frac{ \gamma S^{2}x^{2} }{V_{0}^{2} }$ в знаменателе, так как он очень мал, получаем,

$\ddot{x} = - \frac{2p_{0}S^{2} \gamma x }{mV_{0} }$

который является уравнением для гармонических колебаний и, следовательно, частота.

$\omega_{0} = S \sqrt{ \frac{2p_{0} \gamma }{mV_{0} } }$