Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7811
2018-05-31 
Найти период малых крутильных колебаний системы, состоящей из двух дисков, насаженных на тонкий стержень с коэффициентом кручения $k$. Моменты инерции дисков относительно оси стержня равны $I_{1}$ и $I_{2}$.
Решение:
Предположим, что диск 1 поворачивается на угол $\theta_{1}$, а диск 2 - на угол $\theta_{2}$ в противоположном направлении. Тогда полное кручение стержня $= \theta_{1} + \theta_{2}$
и вращательная потенциальная энергия $= \frac{1}{2} \chi ( \theta_{1} + \theta_{2})^{2}$
Кинетическая энергия системы (пренебрегая моментом инерции стержня) является
$\frac{1}{2} I_{1} \dot{ \theta}_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \dot{ \theta}_{2}^{2}$
Таким образом, полная энергия стержня
$E = \frac{1}{2} I_{1} \dot{ \theta}_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \dot{ \theta}_{2}^{2} + \frac{1}{2} \chi ( \theta_{1} + \theta_{2} )^{2}$
Мы можем положить полный момент импульса стержня равным нулю, так как частота, связанная с вращением всей системы, должна быть нулевой (и известна).
Таким образом, $I_{1} \theta_{1} = I_{2} \dot{ \theta}_{2}$ или $\frac{ \dot{ \theta}_{1} }{1 / I_{1} } = \frac{ \dot{ \theta}_{2} }{ 1/I_{2} } = \frac{ \dot{ \theta}_{1} + \dot{ \theta}_{2} }{ 1/I_{1} + 1/I_{2} }$
Тогда, $\dot{ \theta}_{1} = \frac{I_{2} }{I_{1} + I_{2} } ( \dot{ \theta}_{1} + \dot{ \theta}_{2} )$ и $\dot{ \theta}_{2} = \frac{I_{1}}{I_{1} + I_{2} } ( \dot{ \theta}_{1} + \dot{ \theta}_{2} )$
и $E = \frac{1}{2} \frac{I_{1}I_{2} }{I_{1} + I_{2} } ( \dot{ \theta}_{1} + \dot{ \theta }_{2} )^{2} + \frac{1}{2} \chi ( \theta_{1} + \theta_{2} )^{2}$
Угловое колебание и соответствующая этому частота
$\omega^{2} = \frac{ \chi}{ \frac{I_{1}I_{2} }{I_{1} + I_{2} } } = \frac{ \chi}{I^{ \prime} }$ и $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I^{ \prime} }{ \chi} }$, где $I^{ \prime} = \frac{I_{1}I_{2} }{I_{1} + I_{2} }$
Найти период малых крутильных колебаний системы, состоящей из двух дисков, насаженных на тонкий стержень с коэффициентом кручения $k$. Моменты инерции дисков относительно оси стержня равны $I_{1}$ и $I_{2}$.
Решение:
Предположим, что диск 1 поворачивается на угол $\theta_{1}$, а диск 2 - на угол $\theta_{2}$ в противоположном направлении. Тогда полное кручение стержня $= \theta_{1} + \theta_{2}$
и вращательная потенциальная энергия $= \frac{1}{2} \chi ( \theta_{1} + \theta_{2})^{2}$
Кинетическая энергия системы (пренебрегая моментом инерции стержня) является
$\frac{1}{2} I_{1} \dot{ \theta}_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \dot{ \theta}_{2}^{2}$
Таким образом, полная энергия стержня
$E = \frac{1}{2} I_{1} \dot{ \theta}_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \dot{ \theta}_{2}^{2} + \frac{1}{2} \chi ( \theta_{1} + \theta_{2} )^{2}$
Мы можем положить полный момент импульса стержня равным нулю, так как частота, связанная с вращением всей системы, должна быть нулевой (и известна).
Таким образом, $I_{1} \theta_{1} = I_{2} \dot{ \theta}_{2}$ или $\frac{ \dot{ \theta}_{1} }{1 / I_{1} } = \frac{ \dot{ \theta}_{2} }{ 1/I_{2} } = \frac{ \dot{ \theta}_{1} + \dot{ \theta}_{2} }{ 1/I_{1} + 1/I_{2} }$
Тогда, $\dot{ \theta}_{1} = \frac{I_{2} }{I_{1} + I_{2} } ( \dot{ \theta}_{1} + \dot{ \theta}_{2} )$ и $\dot{ \theta}_{2} = \frac{I_{1}}{I_{1} + I_{2} } ( \dot{ \theta}_{1} + \dot{ \theta}_{2} )$
и $E = \frac{1}{2} \frac{I_{1}I_{2} }{I_{1} + I_{2} } ( \dot{ \theta}_{1} + \dot{ \theta }_{2} )^{2} + \frac{1}{2} \chi ( \theta_{1} + \theta_{2} )^{2}$
Угловое колебание и соответствующая этому частота
$\omega^{2} = \frac{ \chi}{ \frac{I_{1}I_{2} }{I_{1} + I_{2} } } = \frac{ \chi}{I^{ \prime} }$ и $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I^{ \prime} }{ \chi} }$, где $I^{ \prime} = \frac{I_{1}I_{2} }{I_{1} + I_{2} }$
