ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Два шара с массами $m_{} = 1,0 кг$ и $m_{2} = 2,0 кг$ насажены на тонкий гладкий горизонтальный стержень (рис.). Шары связаны между собой легкой пружинкой с жесткостью $\chi = 24 Н/м$. Левому шару сообщили начальную скорость $v_{1} = 12 см/с$. Найти:
а) частоту колебаний системы в процессе движения;
б) энергию и амплитуду колебаний.



Решение:


Пусть шары 1 и 2 смещены на $x_{1},x_{2}$ из их исходного положения. Тогда энергия системы: $E = \frac{1}{2} m_{1} \dot{x}_{1}^{2} + \frac{1}{2} k (x_{1} - x_{2} )^{2} = \frac{1}{2} m_{1}v_{1}^{2}$

Также общий импульс равен: $m_{1} \dot{x}_{1} + m_{2} \dot{x}_{2} = m_{1}v_{1}$

По определению $X = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} }{m_{1} + m_{2} }, x = x_{1} - x_{2}$

Тогда $x_{1} = X + \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} }x, x_{2} = X - \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} }x$
$E = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2} )X^{2} + \frac{1}{2} \frac{m_{1}m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \dot{x}^{2} + \frac{1}{2}kx^{2}$

Следовательно $\dot{X} = \frac{m_{1}v_{1} }{m_{1} + m_{2} }$

Тогда $\frac{1}{2} \frac{m_{1}m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \dot{x}^{2} + \frac{1}{2} kx^{2} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} - \frac{1}{2} \frac{m_{1}^{2} v_{1}^{2} }{m_{1} + m_{2} } = \frac{1}{2} \frac{m_{1}m_{2} }{m_{1} + m_{2} } v_{1}^{2}$

(а) Из приведенного выше уравнения

$\omega = \sqrt{ \frac{k}{ \mu} } = \sqrt{ \frac{3 \cdot 24}{2} } = 6 с^{-1}$, когда $\mu = \frac{m_{1}m_{2} }{m_{1} + m_{2} } = \frac{2}{3} кг$.

(б) Энергия колебаний

$\frac{1}{2} \frac{m_{1}m_{2} }{m_{1} + m_{2} } v_{1}^{2} = \frac{1}{2} \frac{2}{3} (0,12)^{2} = 48 \cdot 10^{ -4} = 4,8 мДж$

Имеем $x = a \sin ( \omega t + \alpha)$

Первоначально $x = 0$ при $t = 0$, поэтому $\alpha = 0$

Тогда $x = a \sin \omega t$. Также $x = v_{1}$ при $t = 0$.

Таким образом, для $\omega a = v_{1}$ и, следовательно, $a = \frac{v_{1} }{ \omega} = \frac{12}{6} = 2 см$.