ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Два кубика, массы которых равны $m_{1}$ и $m_{2}$, соединили невесомой пружинкой жесткости $\chi$ и положили на гладкую горизонтальную плоскость. Затем кубики немного сблизили и одновременно отпустили. Найти собственную частоту колебаний системы.


Решение:


Кубики колеблются в системе отсчета центра масс системы. Мы знаем, что кинетическая энергия двух тел системы равна $\frac{1}{2} \mu v_{вз}^{2}$, где $\mu$- приведенная масса, $v_{вз}$ - модуль скорости любой частицы тела относительно другой. Из закона сохранения механической энергии:

$\frac{1}{2} \chi x^{2} + \frac{1}{2} \mu \left ( \frac{d}{dt}(l_{0} + x ) \right )^{2} = const$

Здесь $l_{0}$ - длина пружины.
Дифференцируя приведенное выше уравнение по времени, получаем:

$\frac{1}{2} \chi 2 x \dot{x} + \frac{1}{2} \mu 2 \dot{x} \ddot{x}$ (поскольку $\frac{d(l_{0} + x ) }{dt} = \dot{x}$)

Таким образом: $\ddot{x} = - \frac{ \chi}{ \mu} x$ (где $\mu = \frac{m_{1}m_{2} }{m_{1} + m_{2} }$

Следовательно, собственная частота колебаний: $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{ \chi}{ \mu} }$ где $\mu = \frac{m_{1}m_{2} }{m_{1} + m_{2} }$