Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7808
2018-05-31 
Сплошной однородный цилиндр массы $m$ совершает малые колебания под действием двух пружин, общая жесткость которых $\chi$ (рис.). Найти период этих колебаний в отсутствие скольжения.
Решение:
Пусть $\chi_{1}$ и $\chi_{2}$ - постоянная правой и левой пружин. Самая низкая точка становится мгновенным центром вращения цилиндра при колебаниях. Если $\theta$ - небольшое угловое смещение его верхней точки относительно положения равновесия, деформация каждой пружины становится ($2R \theta$). Поскольку механическая энергия колебания твердого цилиндра подчиняется закону сохранения, $E = T + U = const$
т. е. $\frac{1}{2} I_{p} ( \dot{ \theta} )^{2} + \frac{1}{2} \chi_{1} (2R \theta)^{2} + \frac{1}{2} \chi_{2} (2R \theta)^{2} = const$
Дифференцируя по времени
$\frac{1}{2} I_{p}2 \dot{ \theta} \ddot{ \theta} + \frac{1}{2} ( \chi_{1} + \chi_{2} ) 4R^{2}2 \theta \dot{ \theta} = 0$
или, $\left ( \frac{mR^{2} }{2} = mR^{2} \right ) \ddot{ \theta} + 4 R^{2} \chi \theta = 0$
(Потому что $I_{p} = I_{C} + mR^{2} = \frac{mR^{2} }{2} + mR^{2}$)
Следовательно, $\ddot{ \theta} = - \frac{8}{3} \frac{ \chi}{m} \theta$
Таким образом, $\omega_{0} = \frac{8 \chi}{3m}$ и искомый период колебаний
$T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{3m}{8 \chi} } = \pi \sqrt{ \frac{3m}{2 \chi} }$
Сплошной однородный цилиндр массы $m$ совершает малые колебания под действием двух пружин, общая жесткость которых $\chi$ (рис.). Найти период этих колебаний в отсутствие скольжения.
Решение:
Пусть $\chi_{1}$ и $\chi_{2}$ - постоянная правой и левой пружин. Самая низкая точка становится мгновенным центром вращения цилиндра при колебаниях. Если $\theta$ - небольшое угловое смещение его верхней точки относительно положения равновесия, деформация каждой пружины становится ($2R \theta$). Поскольку механическая энергия колебания твердого цилиндра подчиняется закону сохранения, $E = T + U = const$
т. е. $\frac{1}{2} I_{p} ( \dot{ \theta} )^{2} + \frac{1}{2} \chi_{1} (2R \theta)^{2} + \frac{1}{2} \chi_{2} (2R \theta)^{2} = const$
Дифференцируя по времени
$\frac{1}{2} I_{p}2 \dot{ \theta} \ddot{ \theta} + \frac{1}{2} ( \chi_{1} + \chi_{2} ) 4R^{2}2 \theta \dot{ \theta} = 0$
или, $\left ( \frac{mR^{2} }{2} = mR^{2} \right ) \ddot{ \theta} + 4 R^{2} \chi \theta = 0$
(Потому что $I_{p} = I_{C} + mR^{2} = \frac{mR^{2} }{2} + mR^{2}$)
Следовательно, $\ddot{ \theta} = - \frac{8}{3} \frac{ \chi}{m} \theta$
Таким образом, $\omega_{0} = \frac{8 \chi}{3m}$ и искомый период колебаний
$T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{3m}{8 \chi} } = \pi \sqrt{ \frac{3m}{2 \chi} }$
