Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7806
2018-05-31 
Однородный цилиндрический блок массы $M$ и радиуса $R$ может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси О (рис.). На блок плотно намотана нить, к свешивающемуся концу которой прикреплен груз А. Этот груз уравновешивает точечное тело массы $m$, укрепленное на ободе блока, при определенном значении угла $\alpha$. Найти частоту малых колебаний системы.
Решение:
В положении равновесия $N_{0z} = 0$ (крутящий момент 0)
Итак, $m_{A}gR - mgR \sin \alpha = 0$ или $m_{A} = m \sin \alpha$ (1)
Из уравнения вращательной динамики твердого тела вокруг неподвижной оси (например, оси z) вращения $N_{z} = I \beta_{z}$
когда шкив поворачивается с небольшим угловым смещением $\theta$ по часовой стрелке относительно положения равновесия (рис.), получаем:
$m_{A}gR - mgR \sin ( \alpha + \theta) = \left ( \frac{MR^{2} }{2} + mR^{2} + m_{A}R^{2} \right ) \ddot{ \theta}$
Используя уравнение (1)
$mg \sin \alpha - mg ( \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta) = \left ( \frac{MR + 2m(1 + \sin \alpha)R}{2} \right ) \ddot{ \theta}$
Но при малых $\theta$, мы можем записать $\cos \theta \approx 1$ и $\sin \theta \approx \theta$. Таким образом, имеем
$mg \sin \alpha - mg ( \sin \alpha + \cos \alpha \theta) = \frac{MR + 2m(1 + \sin \alpha)R }{2} \ddot{ \theta}$
Следовательно, $\ddot{ \theta} = - \frac{2mg \cos \alpha}{MR + 2m(1 + \sin \alpha)R } \theta$
Следовательно, искомая угловая частота $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{2mg \cos \alpha}{MR + 2m(1 + \sin \alpha) } }$
Однородный цилиндрический блок массы $M$ и радиуса $R$ может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси О (рис.). На блок плотно намотана нить, к свешивающемуся концу которой прикреплен груз А. Этот груз уравновешивает точечное тело массы $m$, укрепленное на ободе блока, при определенном значении угла $\alpha$. Найти частоту малых колебаний системы.
Решение:
В положении равновесия $N_{0z} = 0$ (крутящий момент 0)
Итак, $m_{A}gR - mgR \sin \alpha = 0$ или $m_{A} = m \sin \alpha$ (1)
Из уравнения вращательной динамики твердого тела вокруг неподвижной оси (например, оси z) вращения $N_{z} = I \beta_{z}$
когда шкив поворачивается с небольшим угловым смещением $\theta$ по часовой стрелке относительно положения равновесия (рис.), получаем:
$m_{A}gR - mgR \sin ( \alpha + \theta) = \left ( \frac{MR^{2} }{2} + mR^{2} + m_{A}R^{2} \right ) \ddot{ \theta}$
Используя уравнение (1)
$mg \sin \alpha - mg ( \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta) = \left ( \frac{MR + 2m(1 + \sin \alpha)R}{2} \right ) \ddot{ \theta}$
Но при малых $\theta$, мы можем записать $\cos \theta \approx 1$ и $\sin \theta \approx \theta$. Таким образом, имеем
$mg \sin \alpha - mg ( \sin \alpha + \cos \alpha \theta) = \frac{MR + 2m(1 + \sin \alpha)R }{2} \ddot{ \theta}$
Следовательно, $\ddot{ \theta} = - \frac{2mg \cos \alpha}{MR + 2m(1 + \sin \alpha)R } \theta$
Следовательно, искомая угловая частота $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{2mg \cos \alpha}{MR + 2m(1 + \sin \alpha) } }$
