ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рис. Известны радиус блока $R$, его момент инерции $I$ относительно оси вращения, масса тела $m$ и жесткость пружины $\chi$. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.



Решение:



Физическая система состоит из шкива и блока. Выбирая промежуточную систему отсчета, давайте направим ось х, как показано на рисунке.

Первоначально система находится в положении равновесия. Теперь из условия равновесия для блока

$T_{0} = mg$ (1)

Аналогично для вращательного равновесия шкива

$\chi \Delta /R = T_{0} R$
или $T_{0} = \chi \Delta l$ (2)

из уравнений (1) и (2) $\Delta l = \frac{mg}{ \chi} $ (3)

Когда равновесие системы нарушается. В произвольной позиции, показанной на рисунке, из второго закона движения Ньютона для блока

$F_{x} = mw_{x}$
$mg - T = mw = m \ddot{x}$ (4)

Аналогично для шкива

$N_{Z} = I \beta_{z}$
$TR - \chi ( \Delta l + x)R = I \ddot{ \theta}$ (5)

Но $w = \beta R$ или, $\ddot{x} = R \ddot{ \theta}$ (6)

из (5) и (6) $TR - \chi ( \Delta l + x) R = \frac{I}{R} \ddot{x}$ (7)

Решение (4) и (7) с использованием начальных условий задачи

$- \chi Rx = \left ( mR + \frac{I}{R} \right ) \ddot{x}$
или, $\ddot{x} = - \left ( \frac{ \chi}{ m + \frac{l}{R^{2} } } \right ) x$

Следовательно, искомый период колебаний, $T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m + l/R^{2} }{ \chi} }$
Примечание: можно решить эту задачу, используя закон сохранение механической энергии