Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7804
2018-05-31 
Гладкий горизонтальный диск вращают вокруг вертикальной оси О (рис.) с постоянной угловой скоростью $\omega$. На нем находится тонкий однородный стержень АВ длины $l$, который совершает малые колебания вокруг вертикальной оси А, укрепленней на диске на расстоянии $a$ от оси О. Найти частоту $\omega_{0}$ этих колебаний.
Решение:
Перейдем к вращающейся системе отсчета, в которой диск неподвижен. В этой системе стержень подвергается кориолисовым и центробежным силам, $F_{кор}$ и $F_{цен}$, где $F_{кор} = \int 2 dm ( \vec{v}^{ \prime} \times \vec{ \omega}_{0} )$ и $F_{цен} = \int dm \omega_{0}^{2} \vec{r}$, где $\vec{r}$ - положение элементарной массы (рис.) относительно точки О (центр диска)
$\vec{v}^{ \prime} = \frac{ d \vec{r}^{ \prime} }{dt}$
$\vec{r} = \vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{d( \vec{AP})}{dt} = \vec{v}^{ \prime}$ (поскольку $\vec{OA}$ постоянна)
Когда стержень вращается поперечно, так что $\vec{v}^{ \prime}$ направлено перпендикулярно длине стержня. Следовательно, $2 dm ( \vec{v}^{ \prime} \times \vec{ \omega})$ для каждой элементарной массы стержня направлена вдоль $\vec{PA}$. Поэтому чистый крутящий момент силы кориолиса около А становится равным нулю. Не крутящий момент центробежной силы относительно точки A:
$\tau_{цен(A)} = \int \vec{AP} \times dm \omega_{0}^{2} \vec{r} = \int \vec{AP} \times \left ( \frac{m}{l} \right ) ds \omega_{0}^{2} ( \vec{OA} + \vec{AP} ) = \int \vec{AP} \times \left ( \frac{m}{l} ds \right ) \omega_{0}^{2} \vec{OA} = \int \frac{m}{l} ds \omega_{0}^{2} sa \sin \theta ( - \vec{k} ) = \frac{m}{l} \omega_{0}^{2} a \sin \theta ( - \vec{k}) \int_{0}^{t} sds = m \omega_{0}^{2} a \frac{l}{2} \sin \theta ( - \vec{k})$
Тогда, $\tau_{ef(Z)} = \vec{ \tau}_{ef(A)} \cdot \vec{k} = - m \omega_{0}^{2} a \frac{l}{2} \sin \theta$
Согласно уравнению вращательной динамики: $\tau_{A(Z) } = l_{A} \alpha_{Z}$
или, $-m \omega_{0}^{2} a \frac{l}{2} \sin \theta = \frac{ml^{2} }{3} \ddot{ \theta}$
или, $\ddot{ \theta} = - \frac{3}{2} \frac{ \omega_{0}^{2}a }{l} \sin \theta$
Таким образом, при малых $\theta$, $\ddot{ \theta} = - \frac{3}{2} \frac{ \omega^{2}a }{2l} \theta$
Это означает, что частота $\omega_{0}$ колебаний $\omega = \sqrt{ \frac{3 \omega^{2}a }{2l} }$
Гладкий горизонтальный диск вращают вокруг вертикальной оси О (рис.) с постоянной угловой скоростью $\omega$. На нем находится тонкий однородный стержень АВ длины $l$, который совершает малые колебания вокруг вертикальной оси А, укрепленней на диске на расстоянии $a$ от оси О. Найти частоту $\omega_{0}$ этих колебаний.
Решение:
Перейдем к вращающейся системе отсчета, в которой диск неподвижен. В этой системе стержень подвергается кориолисовым и центробежным силам, $F_{кор}$ и $F_{цен}$, где $F_{кор} = \int 2 dm ( \vec{v}^{ \prime} \times \vec{ \omega}_{0} )$ и $F_{цен} = \int dm \omega_{0}^{2} \vec{r}$, где $\vec{r}$ - положение элементарной массы (рис.) относительно точки О (центр диска)
$\vec{v}^{ \prime} = \frac{ d \vec{r}^{ \prime} }{dt}$
$\vec{r} = \vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{d( \vec{AP})}{dt} = \vec{v}^{ \prime}$ (поскольку $\vec{OA}$ постоянна)
Когда стержень вращается поперечно, так что $\vec{v}^{ \prime}$ направлено перпендикулярно длине стержня. Следовательно, $2 dm ( \vec{v}^{ \prime} \times \vec{ \omega})$ для каждой элементарной массы стержня направлена вдоль $\vec{PA}$. Поэтому чистый крутящий момент силы кориолиса около А становится равным нулю. Не крутящий момент центробежной силы относительно точки A:
$\tau_{цен(A)} = \int \vec{AP} \times dm \omega_{0}^{2} \vec{r} = \int \vec{AP} \times \left ( \frac{m}{l} \right ) ds \omega_{0}^{2} ( \vec{OA} + \vec{AP} ) = \int \vec{AP} \times \left ( \frac{m}{l} ds \right ) \omega_{0}^{2} \vec{OA} = \int \frac{m}{l} ds \omega_{0}^{2} sa \sin \theta ( - \vec{k} ) = \frac{m}{l} \omega_{0}^{2} a \sin \theta ( - \vec{k}) \int_{0}^{t} sds = m \omega_{0}^{2} a \frac{l}{2} \sin \theta ( - \vec{k})$
Тогда, $\tau_{ef(Z)} = \vec{ \tau}_{ef(A)} \cdot \vec{k} = - m \omega_{0}^{2} a \frac{l}{2} \sin \theta$
Согласно уравнению вращательной динамики: $\tau_{A(Z) } = l_{A} \alpha_{Z}$
или, $-m \omega_{0}^{2} a \frac{l}{2} \sin \theta = \frac{ml^{2} }{3} \ddot{ \theta}$
или, $\ddot{ \theta} = - \frac{3}{2} \frac{ \omega_{0}^{2}a }{l} \sin \theta$
Таким образом, при малых $\theta$, $\ddot{ \theta} = - \frac{3}{2} \frac{ \omega^{2}a }{2l} \theta$
Это означает, что частота $\omega_{0}$ колебаний $\omega = \sqrt{ \frac{3 \omega^{2}a }{2l} }$
