Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7803
2018-05-31 
Тонкая однородная пластинка в форме равностороннего треугольника с высотой $h$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из его сторон. Найти период колебаний и приведенную длину данного маятника.
Решение:
Рассмотрим момент инерции треугольной пластины относительно АВ.
$I = \int \int x^{2} dm = \int \int x^{2} \rho dxdy = \int_{0}^{h} x^{2} \rho dx \frac{h-x}{h} \frac{2h}{ \sqrt{3} } = \int_{0}^{h} x^{2} \frac{2 \rho}{ \sqrt{3} } ( h - x)dx = \frac{2 \rho}{ \sqrt{3} } \left ( \frac{h^{4} }{3} - \frac{h^{4} }{4} \right ) = \frac{ \rho h^{4} }{6 \sqrt{3} } = \frac{mh^{2} }{6}$
Зная площадь треугольника $\delta ABC = \frac{h^{2} }{ \sqrt{3} }$ и $m = \rho \Delta$
Таким образом кинетическая энергия $ = \frac{1}{2} \frac{mh^{2} }{6} \dot{ \theta}^{2}$
Потенциальная энергия $= mg \frac{h}{3} ( 1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} mgh \frac{ \theta^{2} }{3}$
Здесь $\theta$ - угол, который создает мгновенная плоскость пластины с вертикальным положением равновесия. (Пластина вращается как твердое тело)
Таким образом, $E = \frac{1}{2} \frac{mh^{2} }{6} \dot{ \theta}^{2} + \frac{1}{2} \frac{mgh}{3} \theta^{2}$
Следовательно, $\omega_{2} = \frac{2g}{h} = \frac{ \frac{mgh}{3} }{ \frac{mh^{2} }{6} }$
Итак, $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{h}{2g} } = \pi \sqrt{ \frac{2h}{g} }$ и $l_{} = h/2$.
Тонкая однородная пластинка в форме равностороннего треугольника с высотой $h$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из его сторон. Найти период колебаний и приведенную длину данного маятника.
Решение:
Рассмотрим момент инерции треугольной пластины относительно АВ.
$I = \int \int x^{2} dm = \int \int x^{2} \rho dxdy = \int_{0}^{h} x^{2} \rho dx \frac{h-x}{h} \frac{2h}{ \sqrt{3} } = \int_{0}^{h} x^{2} \frac{2 \rho}{ \sqrt{3} } ( h - x)dx = \frac{2 \rho}{ \sqrt{3} } \left ( \frac{h^{4} }{3} - \frac{h^{4} }{4} \right ) = \frac{ \rho h^{4} }{6 \sqrt{3} } = \frac{mh^{2} }{6}$
Зная площадь треугольника $\delta ABC = \frac{h^{2} }{ \sqrt{3} }$ и $m = \rho \Delta$
Таким образом кинетическая энергия $ = \frac{1}{2} \frac{mh^{2} }{6} \dot{ \theta}^{2}$
Потенциальная энергия $= mg \frac{h}{3} ( 1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} mgh \frac{ \theta^{2} }{3}$
Здесь $\theta$ - угол, который создает мгновенная плоскость пластины с вертикальным положением равновесия. (Пластина вращается как твердое тело)
Таким образом, $E = \frac{1}{2} \frac{mh^{2} }{6} \dot{ \theta}^{2} + \frac{1}{2} \frac{mgh}{3} \theta^{2}$
Следовательно, $\omega_{2} = \frac{2g}{h} = \frac{ \frac{mgh}{3} }{ \frac{mh^{2} }{6} }$
Итак, $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{h}{2g} } = \pi \sqrt{ \frac{2h}{g} }$ и $l_{} = h/2$.
