Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7802
2018-05-31 
Однородный стержень длины $l$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси $OO^{ \prime}$, перпендикулярной к стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром инерции стержня и осью $OO^{ \prime}$, при котором период колебаний будет наименьшим. Чему он равен?
Решение:
Расположим стержень, чтобы он находился в угловом положении $\theta$ относительно его положения равновесия. Если $a$ - искомое расстояние, то из сохранения механической энергии колебаний
$mga (1 - \cos \theta) + \frac{1}{2} I_{OO^{ \prime} } ( \dot{ \theta} )^{2} = const$
Дифференцируя по времени, получаем:
$mg a \sin \theta \dot{ \theta} + \frac{1}{2} I_{OO^{ \prime} } + 2 \dot{ \theta} \ddot{ \theta} = 0$
Но $I_{ OO^{ \prime} } = \frac{ml^{2} }{12} + ma^{2}$ и для малых $\theta, \sin \theta = \theta$ получаем
$\ddot{ \theta} = - \left ( \frac{ga}{ \frac{l^{2} }{12} + a^{2} } \right ) \theta$
Следовательно, период колебаний одной полной осцилляции равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \frac{l^{2} }{12} + a^{2} }{ag } }$ или $T^{2} = \frac{2 \pi^{2} }{g} \left ( \frac{l^{2} }{12a} + a \right )$
Для $T_{min}$, очевидно $\frac{d}{da} \left ( \frac{l^{2} }{12a} + a \right ) = 0$
Тогда, $- \frac{l^{2} }{12a^{2} } + 1 = 0$ или $a = \frac{l}{2 \sqrt{3} }$
Следовательно, $T_{min} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g \sqrt{3} } }$
Однородный стержень длины $l$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси $OO^{ \prime}$, перпендикулярной к стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром инерции стержня и осью $OO^{ \prime}$, при котором период колебаний будет наименьшим. Чему он равен?
Решение:
Расположим стержень, чтобы он находился в угловом положении $\theta$ относительно его положения равновесия. Если $a$ - искомое расстояние, то из сохранения механической энергии колебаний
$mga (1 - \cos \theta) + \frac{1}{2} I_{OO^{ \prime} } ( \dot{ \theta} )^{2} = const$
Дифференцируя по времени, получаем:
$mg a \sin \theta \dot{ \theta} + \frac{1}{2} I_{OO^{ \prime} } + 2 \dot{ \theta} \ddot{ \theta} = 0$
Но $I_{ OO^{ \prime} } = \frac{ml^{2} }{12} + ma^{2}$ и для малых $\theta, \sin \theta = \theta$ получаем
$\ddot{ \theta} = - \left ( \frac{ga}{ \frac{l^{2} }{12} + a^{2} } \right ) \theta$
Следовательно, период колебаний одной полной осцилляции равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \frac{l^{2} }{12} + a^{2} }{ag } }$ или $T^{2} = \frac{2 \pi^{2} }{g} \left ( \frac{l^{2} }{12a} + a \right )$
Для $T_{min}$, очевидно $\frac{d}{da} \left ( \frac{l^{2} }{12a} + a \right ) = 0$
Тогда, $- \frac{l^{2} }{12a^{2} } + 1 = 0$ или $a = \frac{l}{2 \sqrt{3} }$
Следовательно, $T_{min} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g \sqrt{3} } }$
