ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Два физических маятника совершают малые колебания вокруг одной и той же горизонтальной оси с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Их моменты инерции относительно данной оси равны соответственно $I_{1}$ и $I_{2}$. Маятники привели в состояние устойчивого равновесия и скрепили друг с другом. Какова будет частота малых колебаний составного маятника?


Решение:


Когда два маятника жестко соединены и колеблются, каждый крутящий момент из них взаимодействует с другим, эти крутящие моменты равны и противоположны. Запишем закон движения для двух маятников как

$I_{1} \ddot{ \theta} = - \omega_{1}^{2} I_{1} \theta + G$
$I_{2} \ddot{ \theta} = - \omega_{2}^{2} I_{2} \theta + G$

где $\pm G$ - крутящийся момент взаимодействия. Запишем восстанавливающие силы на каждом маятнике в отсутствие другого $- \omega_{1}^{2}I_{1} \theta$ и $- \omega_{2}^{2} I_{2} \theta$ соответственно. Тогда

$\ddot{ \theta} = - \frac{ I_{1} \omega_{1}^{2} + I_{2} \omega_{2}^{2} }{I_{1} + I_{2} } \theta = - \omega^{2} \theta$

Следовательно, $\omega = \sqrt{ \frac{ I_{1} \omega_{1}^{2} + I_{2} \omega_{2}^{2} }{I_{1} + I_{2} } }$