ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси с частотой $\omega_{1} = 15,0 рад/с$. Если к нему прикрепить небольшее тело массы $m = 50 г$ на расстоянии $l = 20 см$ ниже оси, то частота колебаний становится $\omega_{2} = 10,0 рад/с$. Найти момент инерции этого маятника относительно оси качания.


Решение:


Пусть, момент инерции маятника, вокруг рассматриваемой оси, $I$, тогда запишем $N_{z} = I \beta_{z}$, для маятника,

$- mgx \sin \alpha \theta = I \dot{ \theta}$ или, $\dot{ \theta} = - \frac{mgx}{I} \theta$ (Для малых $\theta$)

которое является искомым уравнением для уравнения гармонических колебаний. Таким образом, частота колебаний,

$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{Mgx}{I} }$ или, $x = \frac{I}{Mg} \sqrt{ \omega_{1}^{2} }$ (1)

Итак, когда масса $m$ прикреплена к маятнику, на расстоянии $l$ ниже оси,

$- Mg x \sin \theta^{ \prime} - mgl \sin \theta^{ \prime} = (I + ml^{2} ) \frac{d^{2} \theta^{ \prime} }{dt^{2} }$

или, $- \frac{g (Mx + ml) }{(I + ml^{2} )} \theta^{ \prime} = \frac{d^{2} \theta }{dt^{2} }$ (При малых $\theta$)

которая снова является уравнением гармонических колебаний, новая частота,

$\omega_{2} = \sqrt{ \frac{g (Mx + ml) }{(I + ml^{2} )} }$ (2)

Решение уравнений (1) и (2),

$\omega_{2} = \sqrt{ \frac{g((I/g) \omega_{0}^{2} + ml) }{ (I + ml^{2} ) } }$

или, $\omega_{2} = \frac{I \omega_{1}^{2} + mgl }{I + ml^{2} }$

или, $I ( \omega_{2}^{2} - \omega_{1}^{2} ) = mgl - m \omega_{2}^{2}l^{2}$

и поэтому, $I = ml^{2} \frac{ \omega_{2}^{2} - g/l }{ \omega_{1}^{2} - \omega_{2}^{2} } = 0,8 г \cdot м^{2}$