Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 780
2016-09-04 
Один конец тонкой гибкой верёвки с линейной плотностью $\rho$ тянут с постоянной горизонтальной скоростью на высоте $H$ над шероховатой поверхностью. Второй конец верёвки свободен (рис.). Длина части верёвки, соприкасающейся с поверхностью, равна $l_{1}$. Найдите длину верёвки $l_{2}$, не касающейся поверхности. Коэффициент трения скольжения верёвки по поверхности равен $k$.
Решение:
рис. 1
рис. 2
Верёвка движется равномерно. Следовательно, сумма сил, приложенных к ней, а также к её части, равна нулю. К верёвке приложены следующие силы (рис. 1): ;$\vec{T}_{0}$ - сила, удерживающая верхний конец верёвки на одной высоте; силы тяжести её двух частей $\rho \vec{g} l_{1}$ и $\rho \vec{g} l_{2}$; $\vec{N}$ - сила нормальной реакции со стороны горизонтальной поверхности; сила трения $\vec{F}_{тр}$ этой поверхности.
Запишем условие равновесия для части верёвки, висящей в воздухе:
$\vec{T}_{0}+ \rho \vec{g} l_{2} + \vec{T} (0) = 0$,
где $\vec{T}(0)$ - сила, действующая со стороны части верёвки, лежащей на поверхности. Из этого условия получим
$T_{0} =\sqrt{( \rho gl_{2})^{2} + (T(0))^{2}}$. (1)
Чтобы найти $T(0)$ запишем условие равновесия малого элемента верёвки длиной $dl$ (рис. 2):
$T + dT = T + \rho g dl \sin \alpha$.
Отсюда следует, что:
$dT = \rho g dh$,
то есть для силы натяжения $T(h)$ в точке верёвки, находящейся на высоте $h$ над поверхностью, имеем:
$T_{0} - T(h) = \rho g(H - h)$.
Отсюда получаем значение силы натяжения в самой нижней точке той части верёвки, которая не соприкасается с поверхностью:
$T(0) = T_{0} - \rho gH$. (2)
Такая же по модулю сила в соответствии с третьим законом Ньютона действует и на горизонтальную часть верёвки. Условия равновесия этой части имеют вид:
$\rho gl_{1} =N$,
$T(0) = F_{тр} = kN = k \rho gl_{1}$. (3)
Из системы уравнений (1), (2) и (3) получим ответ:
$l_{2} = \sqrt{H(H + 2kl_{1})}$.
Проанализируем полученный результат в предельном случае к$k \rightarrow 0$. Видим, что $l_{2} \rightarrow H$, то есть при малом трении не лежащая на поверхности часть верёвки располагается почти вертикально, что вполне соответствует интуитивно ожидаемому результату.
Один конец тонкой гибкой верёвки с линейной плотностью $\rho$ тянут с постоянной горизонтальной скоростью на высоте $H$ над шероховатой поверхностью. Второй конец верёвки свободен (рис.). Длина части верёвки, соприкасающейся с поверхностью, равна $l_{1}$. Найдите длину верёвки $l_{2}$, не касающейся поверхности. Коэффициент трения скольжения верёвки по поверхности равен $k$.
Решение:
рис. 1
рис. 2
Верёвка движется равномерно. Следовательно, сумма сил, приложенных к ней, а также к её части, равна нулю. К верёвке приложены следующие силы (рис. 1): ;$\vec{T}_{0}$ - сила, удерживающая верхний конец верёвки на одной высоте; силы тяжести её двух частей $\rho \vec{g} l_{1}$ и $\rho \vec{g} l_{2}$; $\vec{N}$ - сила нормальной реакции со стороны горизонтальной поверхности; сила трения $\vec{F}_{тр}$ этой поверхности.
Запишем условие равновесия для части верёвки, висящей в воздухе:
$\vec{T}_{0}+ \rho \vec{g} l_{2} + \vec{T} (0) = 0$,
где $\vec{T}(0)$ - сила, действующая со стороны части верёвки, лежащей на поверхности. Из этого условия получим
$T_{0} =\sqrt{( \rho gl_{2})^{2} + (T(0))^{2}}$. (1)
Чтобы найти $T(0)$ запишем условие равновесия малого элемента верёвки длиной $dl$ (рис. 2):
$T + dT = T + \rho g dl \sin \alpha$.
Отсюда следует, что:
$dT = \rho g dh$,
то есть для силы натяжения $T(h)$ в точке верёвки, находящейся на высоте $h$ над поверхностью, имеем:
$T_{0} - T(h) = \rho g(H - h)$.
Отсюда получаем значение силы натяжения в самой нижней точке той части верёвки, которая не соприкасается с поверхностью:
$T(0) = T_{0} - \rho gH$. (2)
Такая же по модулю сила в соответствии с третьим законом Ньютона действует и на горизонтальную часть верёвки. Условия равновесия этой части имеют вид:
$\rho gl_{1} =N$,
$T(0) = F_{тр} = kN = k \rho gl_{1}$. (3)
Из системы уравнений (1), (2) и (3) получим ответ:
$l_{2} = \sqrt{H(H + 2kl_{1})}$.
Проанализируем полученный результат в предельном случае к$k \rightarrow 0$. Видим, что $l_{2} \rightarrow H$, то есть при малом трении не лежащая на поверхности часть верёвки располагается почти вертикально, что вполне соответствует интуитивно ожидаемому результату.
